Non avrai altra base all’infuori di “e”


Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En = (1+1/n)^n dia come limite per n→ ∞  di En = e

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In maniera discorsiva, nella dimostrazione devo arrivare a confermare dall’ipotesi vera di En < En+1  la veridicità della tesi En+1/ En >1.
Quindi se so che il 
limite superiore di En = e, per n che tende all’infinito, è un elemento che sta fuori dalla mia serie En, che tende a dx verso L in quanto non maggiorante(che sta fuori) e so che, per un intervallo arbitrario ε>0 che tolgo da L (L- ε) verso sx avrò sempre per ogni n0≤n (o n≤n+1) una serie En < En+1che mi si avvicina sempre più ad L 

allora

Avrò in questo caso!! il rapporto del successivo sul precedente En+1/ En sarà sempre >1 e lo dobbiamo anche grazie a uno dei fratelli Bernoulli ed ad una sua importante disuguaglianza 

P.Assurdo è palese in quanto avrei dovuto negare la tesi En+1/ En >1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 !?! L’ipotesi quindi En < En+1 sarebbe risultata falsa!
Infine condizione necessaria affinché En < En+1 è che En+1/ En >1, mentre invece è sufficiente che En+1/ En >1 per sapere che En < En+1.

#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉

Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
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[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58

spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#5AN sp4zio M3tric0


  1. Sia p∈Q e p∈I, I =numeri irrazionali e quindi complementare di Q ⇒ ∂Q = ∂I = R

Questo è sempre vero perché in una bolla B(p,r) (punto p e raggio r) la distanza d(p-r,p+r) avrà sempre dei punti razionali/irrazionali che apparterranno all’elemento di frontiera di uno o dell’altro insieme(Q ed I), conseguentemente è vero anche

2) il punto di frontiera ∂ ∃ necessariamente in Q∩I

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3) un punto o è di accumulazione o è isolato

un punto isolato significa 0<s<min[d(p,xn)]. Senza disegno immaginatevi che il punto p∈A sia una bolla di raggio s; e che questo s sia minore del minimo della distanza tra il suo centro p ed un centro di un’altro elemento x preso n finite volte ad esempio 6. Da qui ne consegue che

4) Se A è finito ⇒ A’ finito (e viceversa)

dove A’ è l’insieme dei punti di accumulazione o insieme derivato.

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5) A è chiuso ⇔ A’ ⊆ A

(X,d) metrico, ed A’ è l’insieme dei punti di accumulazione. Abbiamo la nostra bolla B(p,r) ed un nostro elemento x preso all’interno dello spazio metrico stesso. Ora ricordate il punto 3? Se il raggio della bolla B(p,r) era > della distanza minima d(p,xn) allora si aveva un punto di accumulazione? Bene se questo punto è un sottoinsieme di A allora A è chiuso ed Ac è aperto, altrimenti viceversa.
Ad esempio pensate all’insieme

E = {x∈X : d(p,x) <4}    ed il suo complementare    Ec = {x∈X : d(p,x) ≥4}

Qualsiasi punto p che prenda all’interno di E, per quanto vicino possa essere all’estremo superiore 4, il suo raggio non lo raggiungerà mai; questa fa sì che 4 sia un punto di accumulazione che ∉ E ma bensì al suo complementare che lo include col segno ≥. Perciò l’insieme derivato E’⊆Ec, ed Ec è chiuso, mentre E è aperto.

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6) Â = A ∪ A’       si chiama chiusura di A

esempi sono:

  • A = Q   ⇒   Â = R 
  •  Â = B(p,r) = {x∈Rˆn : ||p – r||≤ r }, che è l’unione degli insiemi E ed Ec

La chiusura possiede delle proprietà ovvie riferite anche a famiglie di insiemi e le loro unioni ed intersezioni, quindi considerano uno aspetto più ampio.

diamA = sup d(x,y)  oppure  diamA =  supA – infA      per      x,y ∈ A

immaginate due punti su di una retta R e prendete gli estremi superiori. La distanza che ne intercorre è il diametro dell’insieme A.

Se A< +∞ ⇒ A è limitato
Se diamA = 0    ⇒    A = {a}   elemento singolo

  • se l’elemento singolo è l’insieme A  ⇒ supA – infA = 0
  • se supA – infA ≠ 0 ⇒ ∃ε>0 che funge da gap per almeno i due punti estremi del diamA! In questo caso abbiamo che diamA ≤ sup d(x,y) dove x ed y sono B(x,r) e B(y,s), ne consegue che
  • diamA = diamÂ, dove supA – infA – 2ε < sup d(x,y) 
bibliografia
analisi matematica - soardi

#E3 -#3AN – maggiorante non è Massimo


E = {r ∈Q+ : r² <2},     C+={∀x∈R : x≥r},    3>r? 

C+ è l’insieme dei maggioranti dell’insieme E e 3 è un elemento di di C+ in quanto in E esistono solo r²<2. 

  1. P.Assurdo inverto la TS: 3<r,
  2. ma allora 3 ∈Q
  3. prendo un’altro maggiorante per comodità di calcolo per es. 9
  4. porto dentro il 9 in E: r²<2<9<r
  5. trascuro il 2 come più basso maggiorante riducendo così la disequazione a
  6. r²<9    → r² -9<0    → (r+3)(r-3)<0 
  7. r+3<0 → r<-3 non è soluzione, ma r-3<0 mi dà r<3

r < 3 è esattamente la TS iniziale che mi conferma che 3 è un maggiorante di E

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#3AN Campo Ordinato Completo = R


Un campo è una struttura algebrica con una costante e due operazioni: (k,*,+)     ∀k∈K

che rispetta le seguenti proprietà: Associativa, Commutativa, Distributiva, Elemento Neutro. Un esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali Q.

Ordinato perché possiede una relazione “<” che soddisfa le seguenti proprietà: 

Transitiva – se a<b e b<c ⇒ a<c    ∀a,b,c ∈ K,     ne segue che l’elemento neutro per la moltiplicazione “c>0∈N” non ne cambia la l’ordine

Se a≠b ⇒ a<b ∨ b<a

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Completo perché assume il teorema di completezza: se A⊂R (A• assunto come l’insieme dei maggioranti di R) Superiormente Limitato allora A• ha un minimo. Viceversa se (A∝ assunto come l’insieme dei minoranti di R) Inferiormente Limitato allora A∝ ha una massimo.

Dimostrazione:

  • Sia A⊂R, A sup lim: A•={x∈R :x≥a, ∀a∈A} ≠ ∅            (definizione dell’insieme dei maggioranti come non vuoto)
  • scelgo il minimo dei maggioranti di A• scegliendo la minima cifra tra 0 e 9 delle varie parti di cui è composto il numero: β = c0,c1 c2 c3 c4 c5 … ck-1, ck, xk+1,xk+2 ..
  • Prendo un’ipotetico numero σ = c0,c1 c2 c3 c4 c5 …ck……
  • confronto β e σ: se σ possiede una cifra a ck-1 = 9 allora per il teorema dei resti avremo un numero 9 periodico che ∉R in quanto ck-1,ck,xk+1,xk+2 ecc saranno 9 anche loro.
  • Per assurdo assumo che σ A• allora esiste un numero ϒ>σ t.c. la k-esima cifra di ϒk>ck, ma allora σ>β!! e non ho scelto il minimo elemento dell’insieme dei maggioranti!
  • quindi σ=β oppure le loro k-esime cifre sono ck<bk t.c. σ≤β
  • lo stesso procedimento è possibile affrontarlo con l’insieme dei minoranti

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esempio

dimostrare che 1 è estremo superiore di A={∀n∈Q : (n-1)/n ≤1} o SupA=1

Sapendo che avere un estremo superiore vuol dire ammettere dei maggioranti; in questo caso da enunciato è esplicito che l’1 è il minimo dei maggioranti, ma per dimostrarlo vado per gradi.

Come prima domanda qual è la tesi dell’enunciato?

  • (n-1)/n ≤1 oppure SupA = 1

Se per ogni n appartenente a Q che sostituisco mi dà la disuguaglianza (n-1)/n≤1 allora 1 è il mio estremo superiore. E per dimostrarlo nego la tesi P.A. (per assurdo) dicendo che 1 non è SupA, quindi che Esiste un numero ε>0 che sottratto a 1 mi dà un’estremo superiore magari > (n-1)/n della seguente disuguaglianza:

1-ε   <(n-1)/n   ≤1

invece dopo opportuni calcoli mi risulta n>1/ε il che è sempre vero sempre perché stiamo all’interno dell’insieme Q dei razionali e conseguentemente

1/ε  <n  ≤1

1-ε è quell’elemento supposto massimo all’interno dell’insieme A e che sarà sempre minore di (n-1)/n per qualsiasi ε>0 io prenda. in altre parole avrò sempre un elemento massimo tra 1-ε ed 1 cioè (n-1)/n.

è il minore dei maggioranti? Sì perché se porto l’1 dentro all’insieme A: (n-1/n) – 1≤0 ottengo -1/n ≤0 sempre vero. Per quanto mi possa avvicinare ad 1 al massimo raggiungerò (n-1)/n per ogni n∈N.