#1A definizioni Preliminari


Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:

f: X ——> Y

è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti

idx : X ——-> X

applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso

  1. Sia ha Y è una parte non vuota di X

iy : Y ——–> X

immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”

1 bis.  sia f : X —————> Z

f↑y : Y ——–> Z

restrizione di  f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.

G(f) = f : X ——> Y

grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.

Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.

f (x) = f {[x]}

Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f

f ¯¹(y) = y

contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

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f e la sua inversa

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figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y

figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X

P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}

L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò

P (∅) = {∅}

Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo

∃a ∈ X |P(a)

traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}

∀a ∈ X |P(a)

traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)

X ∩ ∅ = ∅                 X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo

Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra

Criteri feat Congruenze


Contro qualcosa di insormontabile la matematica ci può dare una forte mano a comprendere ciò che abbiamo davanti, generalizzando in dinamiche che vanno ben oltre al caso particolare.

Con criterio di divisibilità io separo e trascelgo che per arrivare ad un risultato ho bisogno di un metodo il più possibile ordinato, efficace e che vada bene per ogni situazione. E’ un primo passo verso l’astrazione, ma se risponde alla domanda giusta diventa decisivo anche ai fini risolutivi.
Dobbiamo avere chiari due concetti prima di procedere: congruenza e notazione scientifica.
Ogni numero può essere scritto in notazione scientifica decimale: 2.750 = 2(10^3)+ 7(10^2)+5(10) ed ogni coppia di numeri possono essere congrui modulo x: 12 (mod5) e 22 (mod5) danno resto 2 (12:5=2 resto 2, 22:5=4 resto 2).
Perché sono importanti questi argomenti?
Nella vita può capitarmi un piccolo problema come dividere 25; ma se mi capitasse 3.162.819?
Il nostro numero non è altro che la sommatoria di più cifre scritta in notazione scientifica nella base più comoda e che tutti conosciamo: base 10

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Ad un tratto arriva il professore, la brutta notizia, l’imprevisto e ti mette nei guai  chiedendo “bene: dividimelo per 11!”
Qui entrano in sinergia, con la notazione scientifica, le proprietà della congruenza che non differiscono dalle leggi aritmetiche:

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il prodotto dei resti segue le leggi aritmetiche: 1*-1=-1 ed -1*-1=1

Il segno alternato della congruenza dà un importante spunto sul metodo da esplorare  con le cifre del nostro numero; infatti se eseguo la sommatoria delle congruenze ed ottengo sempre 0, allora, rifacendo tale procedimento con le cifre del mio numero e tralasciando l’ordine di grandezza (10^n), dovrei ottenere un risultato che diviso per 11 mi dà 0!
Vediamo: (-1*3) + (+1* 1) + (-1*6) + (+1*2) + (-1*8) + (+1*1) + (-1*9) = – 22 / 11 = – 2
resto 0

Osservazioni:
Sapere un criterio di divisibilità significa studiare a priori ciò che abbiamo davanti prima ancora di approcciarci ad esso, osservando e capendone le caratteristiche; citando una celebre frase di Omero che diceva “Niente è bello sotto tutti i punti di vista”, possiamo, in questo caso, vedere tale numero acquisire importanza se visto come sommatoria numerica e non come ordine di grandezza, consapevoli del fatto che la mente associa per sua natura ed abitudine.

In conclusione grazie alle congruenze in base 10 troviamo il criterio di divisibilità di qualsiasi numero. I resti che si ripetono ciclicamente, es. +1-3+2+1-3+2+1-3+2 ecc. saranno i coefficienti da moltiplicare all’ordine di grandezza del numero da dividere.

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ma sappiate che questa è solo una delle tante strade percorribili … 😉

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

Metodo induttivo


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Guardando l’enunciato ricordarsi sempre di identificare cosa sto guardando. In questo caso un’uguaglianza tra una progressione numerica (sommatoria) ed una frazione.

Poi verificarne la veridicità tramite sostituzione, tenendo conto delle condizioni di esistenza. (Perché il contesto in cui si opera è la cosa più importante che chiunque, in qualsiasi situazione, prima di prendere una decisione e portarla fondo deve avere ben chiaro) – in questo caso “per ogni intero >=1.

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Ok è vera. Si fa questo passaggio perché altrimenti staremmo dimostrando l’enunciato nel campo dell’assurdo; sarebbe come fare i 100mt sulla terra con le pinne!

Ora, appurata questa uguaglianza come ipotesi vera dico che vale anche per ogni +1 che metto ad n, quindi la mia tesi dovrebbe portarmi ad un risultato del genere

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A questo punto se l’ipotesi l’ho dimostrata ed è vera mi manca solo da dimostrarne la tesi

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queste due operazioni in realtà sono la stessa, cambia solo la parte verde, ma perché per dimostrare che venga lo stesso risultato ho bisogno di scambiare la sommatoria con la frazione

Questo passaggio è spesso delicato ed ho sottolineato i termini UGUALI con lo stesso colore.
Perché dico uguali? Perché in questo caso la sommatoria è la frazione. Basta sostituirla e risolvere per vedere se riesco ad ottenere lo stesso risultato.

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primo passaggio denominatore comune, secondo passaggio raccoglimento parziale 5^n+1, quarto passaggio estraggo 5 da 20n+15 e lo moltiplico per 5^n+1 dandomi 5^n+2.

il risultato ottenuto è lo stesso dell’immagine precedente. Uguaglianza dimostrata.

Ricordate il significato delle parole: In-durre per De-durre, trarre dentro (4^ immagine sostituzione delle parti verdi) per trarre da (5^ immagine la dimostrazione).
Elegante nella forma no?

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

Gauss l’artista


Carl Friedrich Gauss, uno dei principi della matematica lo reputo un vero artista, un regista, più che un pittore visti alcuni suoi ritratti, che faceva letteralmente recitare i numeri come voleva. Le serie ed il primo concetto di limite di una serie numerica lo dobbiamo soprattutto a lui.
Il problema che pose il suo maestro alla classe lui lo risolse in 5 minuti con un calcolo geniale; se sia una versione verosimile noi non possiamo saperlo, ma l’intuizione nel trovare una via alternativa è qui generalizzata ed ogni volta che la vedo mi vengono in mente le parole di Martha Medeiros “lentamente muore chi non capovolge il tavolo”

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Nel suo caso specifico era da risolvere la somma dei numeri che vanno da 1 a 100. Lui la ribaltò e vide che nel primo passaggio risultava la somma per ben 100 volte dello stesso numero: 101. Da lì i passaggi seguenti sono ovvi.

Ecco perché 1+2+3+….+n=Sn.
Entrare nella logica, cioè nel logos, significa abitare le stanze della comprensione.
Esempio questo usato anche per dimostrare il metodo di induzione.

nb. Sn sta per Sommatoria Numerica e non Serie.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

 

L’importanza di Cantor


Kronecker reputava Cantor come un ciarlatano.
La sua teoria finitista, dove la matematica poteva essere spiegata deduttivamente da processi finiti, con processi finiti ed inserendo esclusivamente i numeri naturali, fu semplicemente il carburante per menti come Georg Cantor, che non solo trovò due diversi infiniti, l’infinito numerabile degli interi e l’infinito non numerabile del continuo, ma estrapolò concetti come “numerabilità” e “cardinalità”, importantissimi per dare un ordine ad argomenti di difficile astrazione.

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tracciate una diagonale che parte da 1 e cancella 2/2, 3/3 ecc. ed otterrete la stessa numerabilità dei numeri razionali >0 … in fin dei conti è come eliminare 1 ogni volta

Questa serie di numeri razionali >0 espressa in questo modo sono state il metodo con il quale, trascurando la relazione di grandezza (esempio 3/2 è più grande di 1/2 sulla retta) e cancellando tutti i numeratori e denominatori comuni 2/2, 3/3,4/4 ecc., ha dimostrato la numerabilità.

Ma perché è così importante? Per cosa codifica la numerabilità?
Sebbene nella vita reale ci siano analogie tra persone, oggetti e luoghi, questo teorema insegna che alla base di tutto ci sono i numeri ed intelligenza numerica che codificano il presente.
Sebbene le immagini di ciò che ci circondano danno continui input al cervello esso inconsciamente astrae il linguaggio; ad esempio se dico “una bottiglia di birra, un fiasco di vino, una borraccia di liquore” la mente per analogia di colori, forma, consistenza tra loro ecc. codificherà vari sinonimi con la parola più semplice cioè “bottiglia” indipendentemente dal contenuto; ma ciò che ancor più affascina prima del linguaggio consueto è che codifica “uno”, l’unità, il numero 1: la pura e nascosta ovvietà della struttura che la mente immagazzina nell’astrazione prima del concreto.

Questo cosa ha a che vedere con Cantor?
Visivamente riconosciamo numeri interi ovunque e semmai volessimo bere diremmo “dammi un bicchiere di vino” e non “1/5 di bottiglia”; bene, questo, come arcoriflesso cerebrale ci dice: quel quadrato con il quale ha dato numerabilità ai razionali nell’infinito numerabile degli interi è parte della nostra intelligenza numerica che va ben oltre ai numeri interi stessi.

e l’infinito? si chiama infinito perché non è numerabile?
Può darsi che in italiano abbia un senso, ma in matematica tale affermazione è approssimativa. 

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Perché se l’ipotetico numero z  differisse dalla successione anche di una cifra dall’ipotetica numerabilità fatta dalla serie di n-esimi numeri, questo risulterebbe fuori da qualsiasi casistica risultando non contemplato, estraneo e quindi non numerato.

in conclusione: l’intelletto concepisce il reale come continuo denso ed infinito diverso dal razionale, codifica interi ancor prima di associare il numero all’oggetto e traduce dalla matematica in parole semplificando in sinonimi.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA