La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità


Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

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Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A

#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

Separatore-Grigio

Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#14A Teorema di Hartogs


Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

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Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine  e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#A8-#E


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Nel primo esercizio basta notare le analogie che stanno nell’uguaglianza dei due coefficienti per capire che forse è inutile stare a trasformare le permutazioni, quindi bastano pochi passaggi algebrici per capire che la soluzione è più vicina di quanto sembri

Nel secondo esercizio le condizioni di esistenza devono essere x≥4, quindi al primo passaggio sostituiamo la formula base coi valori dei seguenti coefficienti binomiali. Poi permutiamo il 4 al primo denominatore così lo si elimina; sotto permutiamo invece la serie x! per eliminare il (x-4)! sempre al den., mentre al di là dell’uguale facciamo lo stesso con (x-3)!
semplifichiamo algebricamente i fattori comuni, moltiplichiamo lo stesso denominatore *6 così lo possiamo eliminare per trovarci con un semplice passaggio ad x-3=5, x=8 che è ≥4 

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Al primo passaggio attuiamo la sostituazione alla formula madre n! / k!(n-k)!. nb. la seconda freccia verde in alto: sostituzione di k-1 e n-1 alla k di (n-k)! risulta [n-1-(k-1)]! cioè  [n-1-k+1]! quindi (n-k)!

So che (n-k)! = (n-k)(n-1-k)! e sostituisco
so che k! = k(k-1)! e sostituisco

effettuo il denominatore comune al penultimo passaggio e semplificando mi ritrovo la formula iniziale n! / k!(n-k)!
uguaglianza verificata con successo

 

 

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

#12A Assioma della Scelta – Axiom of Choice


L’assioma della scelta è un concetto sottile ed a prima vista scontato ma che dà una base solida ad ogni insieme e rapporto tra elementi.

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Ottenuto il concetto andiamo in profondità: ∀F (Famiglia) :∅∉F∃ sempre una funzione di scelta.

ƒ: S –> ∪ {Xi:i∈ I di F}

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S costituisce un’altro insieme cioè ∪(X,x) delle funzioni e di conseguenza degli elementi x∈X delle rispettive famiglie, quindi si ha che S=ƒ(F).
Scegliere tramite una funzione f un elemento appartenente ad una famiglia di insiemi crea visivamente una disgiunzione a due a due tra ad esempio {x}∪Xi con {x}∪Xj non vuoti, condizione esistenziale obbligatoria per far sì che avvenga una scelta.

La parte curiosa è anche dovuta alle applicazioni che ne derivano e che danno il via libera al lemma di Zorn:

f :   X →→ Y     ⇔      g :  X ¡→ Y
Dati 2 insiemi non vuoti ∃f suriettiva se e solo se ∃g iniettiva

Per ogni Catena C ⊂  X se ammette elementi massimali allora esiste almeno un minorante

particolare attenzione si può porre al fatto che la funzione della scelta possa essere anche interpretata come funzione canonica di una classe di equivalenza perché scegliendo  un insieme per il suo elemento instauriamo una relazione tra elementi di un insieme parzialmente ordinato (≤,N) 

In altre parole le frecce disegnate in verde sopra indicano che la g è la scelta tra tanti elementi di un sottoinsieme ed esiste solo se la f(X)=S oppure f(X) del {x} singoletto = y

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica
Marco Manetti - Topologia

La strada dell’immaginazione


Vorrei dare delle piccole dritte a tutti coloro che si stanno approcciando alla matematica ed al ragionamento astratto

Per poter visualizzare un’immagine di un concetto dobbiamo tradurre ciò che è scritto in maniera univoca e affidabile; spesso durante alcune letture di enunciati mi è capitato di trovare la stessa dicitura tra parentesi differenti come ad esempio tra {bi : iI} e (bi: iI): la differenza sostanziale è il riferimento che danno le medesime nel primo caso indicandone l’immagine, quindi un insieme della funzione bi con gli indici che appartengono ae nel secondo la funzione appartenente ad un indice I che manda in bi .
Risulta sottile ma sostanziale ai fini della comprensione non lasciare nulla al caso.

Vi faccio una domanda: che cosa sottintende la dicitura { X |P(a)}? (esiste una a appartenente a X tale che una proposizione a sia vera?

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In base al concetto di prima le parentesi indicano un insieme dove la a sta in X e nella proposizione di a, quindi il riferimento implicito che ci dà un nuovo elemento su cui ragionare è {a  X∩P(a)} un nuovo sottoinsieme di X e di P(a). Lo stesso passo è valevole per il quantificatore “per ogni=∀ “, perché se per ogni elemento esistente in un insieme si verifica una determinata proposizione allora gli stessi stanno nell’unione dell’insieme di partenza con l’insieme della proposizione.

Avere più informazioni possibili riduce a volte il margine di errore, ma in qualche caso dobbiamo proprio immaginare che le regole vengono ribaltate. De Morgan fa questo con le leggi che governano gli insiemi; ma la cosa ancora più stupefacente è che possiamo immaginare gli elementi come anch’essi facenti parte di una famiglia di elementi per la quale si crea a sua volta un insieme che racchiude determinati predicati a cui rispondono. Il tutto sembra interconnesso e lo è a tutti gli effetti: l’Assioma della scelta conferma che per quanto scelga una cosa fra tante avrò scelto tante cose in una e la funzione come risultante di un processo di delimitazione del caos.

Perciò quando davanti agli occhi ci compare un’espressione è doveroso chiedersi in che “contesto” ha risultati, in quanto tutto è una restrizione se non un’immersione completa sul tutto.

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Il diagramma sovrastante mostra un ipotetico approccio all’algebra volto a spiegarne le connessioni; sono solo un modo di evidenziare come concetti base diventino propedeutici per gli argomenti a venire. Come?
Senza Peano  gli assiomi che ne derivano non avremmo ordine da cui iniziare, senza applicazioni (funzioni) non avremmo strutture sensate e gli elementi corrisponderebbero senza regole, senza metodo induttivo non potremmo dimostrare che cos’è l’insieme delle parti e senza insieme delle parti congiunto con il teorema di Cantor-Bernstein, non avrebbero luogo procedimenti logici che portano oggi a riassumere la cardinalità dei numeri Reali come |P(N)| = |2^N| ≤ |R|

L’immaginazione è consegnare l’esattezza, ma attenzione: possiamo astrarre quanto si vuole ma il procedimento è sempre concretamente esperienziale. Vero? In parte.

Senza dubbio la matematica è la scienza delle relazioni intrinseche più che delle cose in se stesse dove ogni oggetto acquista o perde valore, potere, evidenza solo se messo in relazione con qualcos’altro che spesso non ci dà la soluzione, non ci afferma “è così!”, si limita elegantemente a dirci che ciò che abbiamo trovato “sicuramente non è così”:

  • non è solido e ne gassoso.  (è liquido)
  • siamo non vincitori. (siamo perdenti)
  • (∏X∈F) X≠∅   il prodotto di tutte le X appartenenti alla famiglia F di X è diverso dall’insieme vuoto

Ma gran parte del ragionamento matematico accetta per vera un’affermazione mai direttamente enunciata dimostrandone l’inesistenza del contrario; mette in relazione oggetti irreali, (basti pensare ad un oggetto in 2D seppur piccolo di spessore praticamente inesistente sulla faccia della terra!), palesandone l’esistenza accettando l’opposto dell’inesistenza.

Insomma possiede il rigore amorale della natura ed il pensiero di un intrepido bimbo.
C’è una citazione di Einstein che appare tutt’altro che ovvia a chi studia matematica e che dice così:

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Credo fermamente che non sbagli nulla nel senso letterale dei termini: “L’immaginazione ti porterà ovunque”, proprio oltre il reale e chissà se un domani potremmo davvero realizzare l’immaginario dopo aver in realtà immaginato tanto per arrivarci?