- Sia p∈Q e p∈I, I =numeri irrazionali e quindi complementare di Q ⇒ ∂Q = ∂I = R
Questo è sempre vero perché in una bolla B(p,r) (punto p e raggio r) la distanza d(p-r,p+r) avrà sempre dei punti razionali/irrazionali che apparterranno all’elemento di frontiera di uno o dell’altro insieme(Q ed I), conseguentemente è vero anche
2) il punto di frontiera ∂ ∃ necessariamente in Q∩I
3) un punto o è di accumulazione o è isolato
un punto isolato significa 0<s<min[d(p,xn)]. Senza disegno immaginatevi che il punto p∈A sia una bolla di raggio s; e che questo s sia minore del minimo della distanza tra il suo centro p ed un centro di un’altro elemento x preso n finite volte ad esempio 6. Da qui ne consegue che
4) Se A è finito ⇒ A’ finito (e viceversa)
dove A’ è l’insieme dei punti di accumulazione o insieme derivato.
5) A è chiuso ⇔ A’ ⊆ A
(X,d) metrico, ed A’ è l’insieme dei punti di accumulazione. Abbiamo la nostra bolla B(p,r) ed un nostro elemento x preso all’interno dello spazio metrico stesso. Ora ricordate il punto 3? Se il raggio della bolla B(p,r) era > della distanza minima d(p,xn) allora si aveva un punto di accumulazione? Bene se questo punto è un sottoinsieme di A allora A è chiuso ed Ac è aperto, altrimenti viceversa.
Ad esempio pensate all’insieme
E = {x∈X : d(p,x) <4} ed il suo complementare Ec = {x∈X : d(p,x) ≥4}
Qualsiasi punto p che prenda all’interno di E, per quanto vicino possa essere all’estremo superiore 4, il suo raggio non lo raggiungerà mai; questa fa sì che 4 sia un punto di accumulazione che ∉ E ma bensì al suo complementare che lo include col segno ≥. Perciò l’insieme derivato E’⊆Ec, ed Ec è chiuso, mentre E è aperto.
6) Â = A ∪ A’ si chiama chiusura di A
esempi sono:
- A = Q ⇒ Â = R
- Â = B(p,r) = {x∈Rˆn : ||p – r||≤ r }, che è l’unione degli insiemi E ed Ec
La chiusura possiede delle proprietà ovvie riferite anche a famiglie di insiemi e le loro unioni ed intersezioni, quindi considerano uno aspetto più ampio.
diamA = sup d(x,y) oppure diamA = supA – infA per x,y ∈ A
immaginate due punti su di una retta R e prendete gli estremi superiori. La distanza che ne intercorre è il diametro dell’insieme A.
Se A< +∞ ⇒ A è limitato
Se diamA = 0 ⇒ A = {a} elemento singolo
- se l’elemento singolo è l’insieme A ⇒ supA – infA = 0
- se supA – infA ≠ 0 ⇒ ∃ε>0 che funge da gap per almeno i due punti estremi del diamA! In questo caso abbiamo che diamA ≤ sup d(x,y) dove x ed y sono B(x,r) e B(y,s), ne consegue che
- diamA = diamÂ, dove supA – infA – 2ε < sup d(x,y)
bibliografia analisi matematica - soardi
