Come siete Serie


Successioni e Serie sono il modo astratto per spiegare una parte della probabilità degli eventi e della struttura fisica del mondo.
Non mi dilungherò su tale argomento ma vorrei fare delle piccole considerazioni trasversali che occupano questo braccio della matematica.

criterioGli argomenti son molti e tutti di eguale importanza perciò parto dai concetti primari: distinzione tra criterio e condizione.
Un criterio è un giudizio la condizione è un accordo, perciò dal n1 al n5 io stabilisco senza equivoco che “quella cosa” va in una determinata direzione piuttosto che in un’altra mentre l’unica condizione ammessa nella tabella è quella di Cauchy.

Se ben ricordo la struttura di una dimostrazione si avvale sempre di una ipotesi necessaria e di una tesi sufficiente; in pratica è sufficiente avere una tesi per dimostrare una proposizione oppure allo stesso tempo una ipotesi necessaria per formulare una tesi. Morale? “non ti basta un’ipotesi. devi avere una tesi per dimostrare.

Specificato questo, se la mia condizione per ipotesi è quella di Cauchy allora ho il primo passo necessario per dimostrare appunto la convergenza di una serie. Infatti:

  • ∀ε>0       ∃nº    ∀m,n ≥nº    :d(Xn,Xm)<ε
  • d(Xn,Xm) ≤ d(Xn,p) + d(Xm, p) <ε
  • |Ak-Ah| <ε    per pº≤p

dicono la stessa cosa ed hanno come elemento cardine che separa “la distanza” tra la successione/serie dal raggio ε.
In quanto ipotesi è necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza e questo dipende “quanto velocemente” la serie mi tende ad un limite: il controesempio è qui sotto e ritrae il confronto tra due (e qua mi scuso) funzioni che mostrano l’andamento della convergenza ad 1 di 1+1/x² rispetto a 1+1/x per il calcolo del Limite.

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Quindi per le serie convergenti una condizione necessaria ma non sufficiente è quella di Cauchy, infatti spesso viene rinforzata da altri criteri e sono quelli della radice, del rapporto, di condensazione e di Leibniz (pt 1,3,4,5) usati a loro volta per stabilire il carattere della serie al variare del limite  0 <α  ≤1 oppure 1<α ≤+∞.
Il rapporto (pt1) è uno strumento polivalente perché esso mi dà sia informazioni sulle successioni se crescenti o decrescenti (se > o < di 1) ma anche sulla convergenza o divergenza delle serie, nonché sfrutta la decrescenza di valori tramite An+1<An per ipotesi per poi condensare il carattere della mia serie in una formula a partire da una restrizione della stessa. Di base il criterio di condensazione si usa per serie visibilmente convergenti già dall’inizio dove al numeratore abbiamo una costante che cambia di poco rispetto al denominatore, mentre il criterio della radice si avvale spesso del confronto in caso di convergenza perché se il limite della mia serie An²<α  è 0≤α<1 allora a maggior ragione An convergerà.

Il concetto di assoluta convergenza mi dice però che se il modulo delle somme della serie è assolutamente convergente allora la somma dei moduli è convergente. Questa “restrizione” dove prendo solo i valori positivi di una serie, come ad esempio in sin n, risulta indicatrice per tutti i valori della sommatoria, ma attenzione: ciò che è convergente non è detto che lo sia assolutamente, infatti basti pensare ad una serie a segno alterno dettata da per esempio (-1)^n* 1/n, dove 1/n è infinitesima all’aumentare di n ma non convergente in quanto serie armonica oltre che di riferimento.
Leibniz si avvale del rapporto di An/An+1 per dimostrare, come per le successioni, che la serie crescente sia convergente.
Pensare alla convergenza (An/An+1) come un treno in corsa ed alla crescita (1/n) come un passeggero che seppur correndo in direzione opposta, venga comunque converso.

Morale le ipotesi per il criterio di Condensazione e di Leibniz sono le medesime:

  • An > 0    ∀n
  • An ≥ An+1     ∀n

ma rispondono in maniera differente alla stessa domanda sulla natura della serie, con due sole differenza per Leibniz dove n →+∞ di An = 0 e la presenza di (-1)^n: l’elemento “sfarfallante” che obbliga la serie a tendere verso 0 sia da positivi che da negativi, dandomi informazioni sulle sottosuccessioni A2n > A2n+1, le quali rapportate al limite a cui tende il mio oggetto, rendono l’errore trascurabile al termine a2n+1 successivo qualsiasi cifra significativa io prenda in considerazione.

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Last but not least e come da ultimo esempio, ciò che per le successioni si determinano la crescita o decrescita, per le serie son la convergenza o divergenza, ed è la particolare attenzione che va quasi esclusivamente ai punti di accumulazione situati in prossimità di un limite che rendono in maniera capillare e metodico lo studio sulla convergenza stessa.

#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉

Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
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[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58

spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

#A10-#E Relazioni di Equivalenza


Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:

  1. fℜg è di equivalenza?
  2. se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
  3. trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)

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L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)

Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi 

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  1.  fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:
  •  fℜf  :      f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k            ∀k∈Z   

Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z

  • fℜg = gℜf :       f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)]   che dà                                  ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = g(x) – f(x) 
  • – (1*3) = 3*(-1)  che è sempre divisibile per 3

ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.

  • fℜg e gℜh ⇒ fℜh :      f(x) – g(x)  e  g(x) – h(x) ⇒  f(x) – h(x) =                        ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = 3κ
  • g(x) – h(x) = 3q
  • f(x) – g(x)g(x) – h(x) = 3κ + 3q 
  • f(x) – h(x) = 3(κ+q)   che è sempre divisibile per 3

in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x)  a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.

Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni

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2.   f(x) = x    e    g(x) = x²                          ∀k∈Z

  • fℜf :  f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3      ok
  • fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
  • x – x² = – (x² – x)
  • x – x² = 3κ
  • x = 1,     1 – 1² = 0
  • x = 2,    2 – 2² = 2² – 2 ,       -2 = 2?     che non è divisibile per 3

Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi

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3.   abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:

  • 1 – g(x) = 3κ
  • – g(x) = 3κ – 1
  • g(x) = 1 – 3κ 

trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3

  • f(x) – g(x) = 3κ
  • 11 – 3κ  = 3κ

– 3κ    3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂

#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

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Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#A11-#E


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  1. sommatoria che da k=1 va a n di un’equazione. Come primo step levo la radice al denominatore moltiplicando sia num. che den. stesso per √k per semplificarmi i calcoli. Chiaramente nel farlo anche a n non serve perché sarebbe come moltiplicare (√k/√k=1), quindi n rimane invariato. Infine per il principio di induzione supponendo vera la condizione d’esistenza per ogni n≥1 ∈ N faccio arrivare la sommatoria fino a n+1ricordando che k,n∈ N
  2. Aggiungo alla f(n) = √n l’ f(n+1)  corrispondente di √k/k cioè √k+1/k+1 , trovo il den. comune e svolgendo i calcoli sapendo che k=1 il risultato mi porta in automatico ad avere √n+1

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#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#6A insieme InFinito


Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica