Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
Schermata 2018-12-06 alle 23.59.08

[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58
spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

#8An – l’importanza delLa Frontiera


se Accumulazione E'

Espressione Canonica:   ∂A ∪ A°c

  • A°: punti interni ad A
  • ∂A: la frontiera di A
  • A°c: punti interni all’insieme complementare Ac

immagino il seguente intervallo A: [0,1]
lo 0 è incluso nell’intervallo e rappresenta non solo il lim.inf. ma anche minimo e minorante, mentre l’1 è lim. sup., massimo e maggiorante 

A°complementare è (-∞,0) ∪ (1,+∞) = Ac

(1/n, n/n+1) è una copertura non adatta perché sostituendo una n arbitrariamente grande l’intervallo (0,1) si allarga sempre più senza raggiungere i punti estremi, quindi per coprirlo dovrei scrivere {0}∪(1/n, n/n+1)∪{1}; posso formare una sottocopertura di n finiti intervalli, per esempio: (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3). In questo modo lo rendo compatto 

è semplice capire che all’aumentare di n la funzione tende a sx a 0 ed a dx ad 1 rendendo le frontiere ∂A dei punti di accumulazione (A’) 

Grazie al teorema di comprensione metrica #An 7 so che un punto di accumulazione è quella bolla di punto p e di raggio r che intersecata con E ha al suo interno (per qualsiasi raggio ε>0) infiniti punti x∈E; inoltre i punti di accumulazione appartengono sempre alla frontiera ∂A che nel nostro caso [0,1] è interna all’intervallo rendendolo Chiuso!

  • La copertura (1/n, n/n+1) è aperta 
  • l’intervallo [0,1] è chiuso
  • la sottocopertura (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3) è di numero limitato
  • ⇒ A è compatto

#An7 Teorema di comprensione metrica


Legenda: 

  • p = punto
  • ∂E = frontiera di E
  • E’ = insieme derivato ovvero insieme dei punti di accumulazione di E 
  • Ec = insieme complementare di E

Qualsiasi insieme E ⊆ X (in R^n) abbiamo che E∪∂E ⇔ E∪E’

dimostriamo per prima ⇒ :

E∪∂E ⇒ E∪E’: dall’enunciato è sicuro che p∈ E, ma se appartenesse ad E e basta non avrebbe senso l’implicazione stessa, quindi  possiamo ipotizzare che ∉ E. questo significa che p∈ ∂E∩E’  

  1. p∉ E, questo significa che sta nella frontiera ∂E
  2. stare nella frontiera ∂E significa due cose: o essere isolato, oppure di accumulazione
  3. essere isolato non porta alla risoluzione quindi
  4. se p∈E’ allora ∃ un punto q≠p t.c q stia all’interno della bolla B(p,r), il che equivale a dire che E∪∂E ⇒ E∪E.

e per seconda:

E∪E’ ⇒ E∪∂E: se so che

  1. p∈E’ 
  2. essere di accumulazione significa stare sulla frontiera sia di E che di Ec t.c ∂E=∂Ec allora
  3. p∂E il che prova E∪E’ ⇒ E∪∂E

Conclusioni

  1. se E∪E’ è chiuso ⇒ Ec aperto
  2. se E∪E’ è aperto ⇒ Ec chiuso

tutto dipende dalla frontiera se è inclusa o no nell’intervallo