#12a Assioma della Scelta – Axiom of Choice

L’assioma della scelta è un concetto sottile ed a prima vista scontato ma che dà una base solida ad ogni insieme e rapporto tra elementi.

Ottenuto il concetto andiamo in profondità: ∀F (Famiglia) :∅∉F∃ sempre una funzione di scelta.

ƒ: S –> ∪ {Xi:i∈ I di F}

S costituisce un’altro insieme cioè ∪(X,x) delle funzioni e di conseguenza degli elementi x∈X delle rispettive famiglie, quindici ha che S=ƒ(F).
Scegliere tramite una funzione f un elemento appartenente ad una famiglia di insiemi crea visivamente una disgiunzione a due a due tra ad esempio {x}∪Xi con {x}∪Xj non vuoti, condizione esistenziale obbligatoria per far sì che avvenga una scelta.

La parte curiosa è anche dovuta alle applicazioni che ne derivano e che danno il via libera al lemma di Zorn:

f :   X →→ Y     ⇔      g :  X ¡→ Y
Dati 2 insiemi non vuoti ∃f suriettiva se e solo se ∃g iniettiva

Per ogni Catena C ⊂  X se ammette elementi massimali allora esiste almeno un minorante

particolare attenzione si può porre al fatto che la funzione della scelta possa essere anche interpretata come funzione canonica di una classe di equivalenza perché scegliendo  un insieme per il suo elemento instauriamo una relazione tra elementi di un insieme parzialmente ordinato come ad esempio (≤,N) 

In altre parole le frecce disegnate in verde sopra indicano che la g è la scelta tra tanti elementi di un sottoinsieme ed esiste solo se la f(X)=S oppure f(X) del {x} singoletto = y

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica
Marco Manetti - Topologia