#A11 -E2: Induzione Geometrica


un esempio facile di metodo di induzione visto dal punto di vista geometrico.

Si ha il seguente enunciato: Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati equivale a (n-2)*180° angoli piatti. 

Riscriviamo la Proposizione P meglio:

  • P(n) = la somma degli angoli interni di un triangolo di n lati 
  • (n-2)*180 = angoli piatti

quindi abbiamo che P(n) = (n-2)*180 

  1. troviamo se P(0) è vera
    Se pensiamo al quadrato, come poligono di 4 lati e sostituiamo la n col 4 avremo
    (4-2)*180° = 2*180° = 360°
    Stessa cosa col pentagono, n = 5 avremo (5-2)*180 = 540° … ecc quindi banalmente per ogni sostituzione di n P(n) è sempre vera.
  2. Se P(n) vera ⇒ P(n+1) sarà vera?   Ipotesi (I)
  3. Quindi P(n+1) = P(n) + 180°, perché? Perché se aggiungo un lato al poligono iniziale è come se aggiungessi un angolo di 180°   Tesi (T)

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  1. P(n) + 180 = [(n-2) * 180] +180   
  2. {[(n-2)*1]+1}  *180 , ho raccolto il 180 tra le quadre e graffe
  3. ma banalmente [(n-2)*1] +1 = (n-2)+1 e tutta l’espressione [(n-2)+1]  è P(n)+180 = P(n+1) la Tesi (T) 

Il metodo di induzione è un metodo diretto di dimostrazione.

La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità


Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

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Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A

#A8-#E


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Nel primo esercizio basta notare le analogie che stanno nell’uguaglianza dei due coefficienti per capire che forse è inutile stare a trasformare le permutazioni, quindi bastano pochi passaggi algebrici per capire che la soluzione è più vicina di quanto sembri

Nel secondo esercizio le condizioni di esistenza devono essere x≥4, quindi al primo passaggio sostituiamo la formula base coi valori dei seguenti coefficienti binomiali. Poi permutiamo il 4 al primo denominatore così lo si elimina; sotto permutiamo invece la serie x! per eliminare il (x-4)! sempre al den., mentre al di là dell’uguale facciamo lo stesso con (x-3)!
semplifichiamo algebricamente i fattori comuni, moltiplichiamo lo stesso denominatore *6 così lo possiamo eliminare per trovarci con un semplice passaggio ad x-3=5, x=8 che è ≥4 

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Al primo passaggio attuiamo la sostituazione alla formula madre n! / k!(n-k)!. nb. la seconda freccia verde in alto: sostituzione di k-1 e n-1 alla k di (n-k)! risulta [n-1-(k-1)]! cioè  [n-1-k+1]! quindi (n-k)!

So che (n-k)! = (n-k)(n-1-k)! e sostituisco
so che k! = k(k-1)! e sostituisco

effettuo il denominatore comune al penultimo passaggio e semplificando mi ritrovo la formula iniziale n! / k!(n-k)!
uguaglianza verificata con successo

 

 

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

#11A Ricorsione Forte: Fibonacci e forme Induttive


Principio di Induzione

I Forma

  1. abbiamo P(n) 
  2. P(0) è vera – Peano
  3. P(k) è vera  ⇒ P(k+1) è vera

E qui la ricorsione è data dall’affermazione della proposizione P che se vale per k+1allora vale per n. La stessa la si trova nella seguente analogia

x+0=x,     x+S(y) = S(x+y)

x*0=x,   x*S(y) = x*y + x

x^0=1,    x^n+1 = x^n*x   [oppure]   x^n-1*x = x^n

Fibonacci nel un esempio singolare di induzione in quanto come serie numerica tiene conto di ben 2 numeri precedenti i quali sommati danno il terzo. La curiosità è che tutta la serie dà come immagine una funzione di restrizione dei N naturali formata dai sottoinsiemi in H al variare di i<n

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w = N numeri naturali

II Forma

  1. abbiamo P(n)
  2. P(0) è vera
  3. allora ¥m>0, se A(k) è Vera ¥0≤k<m, ⇒ A(m) è Vera, quindi
  4. A(n) è vera ¥n∈N

Qui la forma si complica ma si completa perché al posto di un indice ne abbiamo 2 cioè k,ν.

Supponiamo di avere m=4, allora la formula scritta in blu dovrebbe valere per qualsiasi 2 ≤ν ≤k ≤m perché giustamente per 0 ed 1 è già verificata come vera.

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come viene suddivisa la sommatoria prendendo come esempio m=4

Detto questo verifichiamo se per la condizione più “stretta” 2 =ν =k =m può valere per tutti gli m+1 oltre il 2.

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prima riga = f(n)= secondo membro. Seconda riga ipotesi di f(n+1) al membro di dx. Terza riga è la tesi dove aggiungo all’f(n) di sx il +1. Quarta riga affermo la tesi tramite calcoli algebrici

  1. alla prima riga riscrivo l’equazione nella forma originaria
  2. ci aggiungo, a destra la sommatoria sostitutiva di m+1 di sx. In rosso la freccia indica la stessa parte. La seconda riga è L’ipotesi induttiva che deve essere verificata, per capirci f(n+1)
  3. Prendo il secondo membro dell’uguaglianza del punto 1 e ci aggiungo il “+1″ che è la sommatoria del f(n+1). La trasformo in modo d’avere le sommatorie identiche (segante in blu)
  4. proprietà distributiva e raccolgo la parte comune del punto 3 e la moltiplico per il “+1” dei 2 indici ottenendo esattamente la formula iniziale ma con k,ν che vanno fino a m+1
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#5A assiomi: Estensionalità, Astrazione, Comprensione, Peano e tavole della Verità


Estensionalità
Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi

Astrazione
Data una proprietà definita P esiste una classe in cui gli elementi sono oggetti x che verificano P

Tale classe è unica e si scrive {x : P(x)}, quindi a ∈ {x : P(x)} ⇔ P(x) vale.
Bertrand Russell ha dato una definizione di classe per la quale non sarebbe contemporaneamente un’insieme. Per definizione la cosiddetta “classe di Russell” viene definita così: {x : x ∉ x}. Per evitare fraintendimenti dobbiamo prima definire la differenza che intercorre tra classe ed insieme.

Gli assiomi fin qui predispongono per astrazione un insieme universo V dove son presenti tutte le diciture finora prese in considerazione quali “elementi”, “insiemi”, classi” ecc. Partendo dal presupposto che sono i predicati P ad ordinare il linguaggio in base alla funzione, un insieme è una classe che appartiene ad almeno un’altra classe, la quale se non appartenesse ad un’insieme verrebbe chiamata classe propria.

Comprensione
Dato un insieme A ed una proprietà P definiamo  {x ∈ A : P(x)} la classe, ovvero quegli elementi x di A che soddisfano il predicato

Una sottoclasse di un insieme è un’insieme, per esempio prendiamo l’insieme B ed una proprietà P; la sua classe è definita così  {x ∈ B : P(x)} e la sua sottoclasse come
{x: x ∈ A ∧ P(x)}. Data l’inclusione della sottoclasse la dicitura {x ∈ B : P(x)} viene comunemente chiamata insieme.


  1. 0 ∈ N
  2. n ∈ N | s(n) ∈ N           ∀ n ∈ N
  3. s(n) ≠ 0                           ∀ n ∈ N
  4. s(n) ≠ s(m) ⇒ n ≠ m   ∀ n ∈ N
  5. E ⊆ N | 0 ∈ N        ∧      ∀ n ∈ E ∃ n ∈ N | E=N

Partendo dal principio asseriamo che Peano con i seguenti assiomi indimostrabili categorizza e classifica i numeri naturali ≥ 0 (N+) detti anche interi non negativi.

  1. Per (a) come elemento di un sottoinsieme E ⊆ N attribuiamo il valore a = 0 
  2. per ogni numero che appartiene ai numeri naturali esiste un suo successivo codificato come s(n)
  3. a non e successivo di nessun numero naturale
  4. diversi i successivi, diversi i numeri da cui provengono
  5. se una funzione f è attuabile ad a = 0 così come al successore (es 1) allora è attuabile a qualsiasi numero naturale

il punto n5 è formalmente il principio di induzione.
Tale principio ha dimostrato coerentemente proprietà molto importanti dell’aritmetica per la somma (+) ed il prodotto (*) quali

  • commutativa  (a+0=0+a, a*1=1*a)
  • associativa [a+(b+c)] = [(a+b)+c], a*(b*c)=(a*b)*c
  • distributiva (del prodotto rispetto la somma, a*(b+c) = (a+b)*(a+c)
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dove S sta per “successore” questa è l’immagine della dimostrazione della proprietà commutativa dell’addizione usando le applicazioni composte dove s^n(m) = n+m

 


Dati gli insiemi X, Y, Z stabiliamo le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due o tre insiemi contemporaneamente, quindi affermiamo V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è.
Congiuntamente prendiamo dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o) che rispecchiano, anche morfologicamente, i segni di intersezione (∩) ed unione (∪) che si usano normalmente nei casi in cui bisogna dimostrare se un elemento è presente o meno in un gruppo di insiemi. Esempio:

(A∩B)∪C = (A∪C) ∩ (B∪C) è un’uguaglianza vera?

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caso particolare: abbiamo una tautologia quando accade un’ipotesi premessa che fa avverare la tesi, quindi risulta sempre vera, per esempio:

se mangio allora ingrasso

P = mangio
I = ingrasso

mangio allora ingrasso = (P⇒I)

=

[P∧(P⇒I)⇒I] = [mangio e (se mangio allora ingrasso) allora ingrasso]

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

Così lontanamente vicina: Principio di Generalizzazione


Bertrand Russell asseriva che la maggior parte degli insiemi non contiene se stesso come elemento: è chiaro che se io sono l’insieme dei numeri interi non posso esserne contemporaneamente un’elemento.
Il paradosso dell’infinito, cioè che un dato insieme possa essere contemporaneamente sia elemento che insieme di elementi, è un punto fermo al di là del quale dovremmo vederne, nello sforzo dei molti matematici citati nel corso della storia, una chiara direzione dell’ambizione umana.
Nel corso del tempo il peso di tale convinzione ha imparato a convivere con l’altro concetto: alla base di ogni ragionamento sta sempre il passaggio ipotetico-deduttivo, l’intuizione, quel sentimento che provoca nel guardarsi dentro e che dentro scaturisce l’entusiasmo di continuare la ricerca su molti fronti, che accomuna argomenti e muove verso la scoperta il nostro bimbo interiore.
Quindi non si tratta solo di infinito e di paradossi, ma anche di sentimenti a volte in contrasto fra loro e che conducono l’uomo ad affrontare la stessa realtà davanti ai suoi occhi.
Ma allora perché una materia che abbraccia molti aspetti a noi familiari è contemporaneamente così ostica nell’apprendimento?

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Abituarsi a ragionare non per immagini ma per strutture è il primo passo verso la generalizzazione: conoscere significa sapere logiche e leggi che governano un procedimento e la matematica, avvalendosi solo della curiosità, adempie sé stessa rendendo l’uomo universalmente libero; basti pensare all’evoluzione del numero. Con l’affermazione “Dio fece i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kronecker delimitava la libertà di calcolo del tempo e solo più avanti, per consentire maggior autonomia, i numeri razionali sono stati paragonati agli interi stessi. Ma perché?

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Queste sono le proprietà alle quali tutti i numeri dovevano rispondere per coerenza.

Tutto parte dalle regole dei segni ideate dall’uomo per dare una base coerente al sistema e che paradossalmente non accetta dimostrazioni (Eulero) se non in relazione alle proprietà fondamentali dell’aritmetica.

Per esempio (-1) * (-1) = 1 oppure 1/2 + 1/2 = 1 non 2/4

Comunque, all’inizio si usavano solo numeri naturali per contare, poi grazie al concetto di “misura” e di seguito l’introduzione dei razionali, ci siamo scontrati con il limite degli stessi, cercando una coerenza molto ampliata e sofferta nel principio di generalizzazione.
Per capirci: finché si trattava di somme e prodotti di numeri positivi (razionali e interi) non ci sono state grosse difficoltà, ma con l’accettazione dello 0 come numero e la conseguente introduzione delle operazioni inverse (divisione e sottrazione), l’equazione “a – b = x” per “b > a” ha trovato il proprio posto nel rispetto delle proprietà sopra citate; anzi, furono proprio esse a dettare le regole del sistema aritmetico che tiene ancora oggi tutto in piedi!

Come dicevo trovare un risultato x<0 che rispetti proprietà base dell’aritmetica ha semplicemente stravolto i matematici; si è dovuti ammettere che ciò che crea movimento o le meccaniche (le proprietà) dirigono e soppesano gli elementi (i numeri); pian piano si è arrivati alla percezione che più la matematica estendeva i suoi domini e più la formalità prendeva piede nella filosofia della scienza, abbandonando ideologie fisse ed abbracciando l’esigenza di maggiore libertà di calcolo, fino a “geometrizzare” l’aritmetica con Descartes e Fermat, grazie ai quali un numero reale trova nel segmento l’elemento associativo della sua lunghezza (geometria analitica).

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Il luogo dei punti di un piano

Con l’avvento dei numeri irrazionali nel XIX secolo i confini vengono decisamente abbattuti, l’apertura del termine “numero” diventa così vasta che viene perfino accettata l’idea di dimostrazione indiretta pur di darsi delle spiegazioni. I famosi Cantor, Kronecker e Dedekind si son contesi molto a riguardo ed indirettamente, dato che un numero irrazionale è definito tutt’oggi come un simbolo di successione monotona di intervalli razionali. 

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questa equazione ammette soluzioni nel campo dei numeri reali (razionali ed irrazionali)

Immergersi nei numeri complessi, composti da una parte reale “a” ed una immaginaria “b” dove “i^2 = – 1”, ha portato a risultati geometrici (Wessel, Argand e Gauss) e quindi anch’essi visibili ed allargato ulteriormente il dominio oltre i reali, confermando sempre più nell’immaginario umano che il numero sia più un luogo oltre, che connette in solitudine l’invisibile.

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Quest’altra equazione non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali

Ad oggi, abbiamo imparato a non dare risposta, a lasciare aperti i quesiti che spingono la teoria dei numeri alla ricerca di certezze ed assimilato il dubbio come strumento di verifica dove fortunatamente molto è ancora da scoprire (congettura matematica di Riemann, numeri fatidici ecc) nella sicurezza di una coerenza metodologica, storica e di pensiero.

Per concludere il modo di pensare è frutto del reale da cui la matematica è nata per esigenza, quasi come un processo artistico che per sua natura ne ha fatto, nel corso dei secoli,  la regina delle materie, percorrendo ed estendendo il dominio dei numeri con l’introduzione di nuovi simboli senza compromettere le regole del passato, sviluppandosi nella moltitudine ed astraendo in ciò che oggi chiamiamo semplicemente Principio di Generalizzazione.

Bibliografia:
  Carl B.Boyer – Storia della matematica
  Richard Courant e Herbert Robbins – Che cos’è la matematica