#E3 – #A10: P(n-1)+ è la stessa cosa + P(n+1)


Qui sono esemplificati i due metodi induttivi (induzione ed induzione forte) 

  • (A): P(n-1)+P(n) = P(n)
  • (B): P(n) + P(n+1) = P(n+1)
  • grigio + verde = Ipotesi = Tesi

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Corriere della Sera

La Luna Poetica…

La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità


Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

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Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A

Il Pensiero è Positivo od anche il Percorso più Probabile?


Un evento per far si che si verifichi bisogna saperne l’aleatorietà? Il calcolo delle probabilità ci rassicura a riguardo e malgrado la nostra ansia, se puntassimo simultaneamente su due casistiche opposte, avremmo come risultante una vittoria = 1, es, testa o croce, pari o dispari ecc.

cropped-friedrich.jpgNei casi in cui avessimo n > 2 casistiche bisognerebbe vederne la posta in gioco se (f)avorevole o (s)favorevole secondo la formula

f*v – s*p / f+s 

Se tale espressione valesse 0 allora la (v)incita sarebbe equilibrata es:

Tiro 2 dadi da 6 e punto sull’uscita di un numero x >10, a quanto dovrebbe ammontare la ricompensa se ciò accadesse?
Per prima cosa abbiamo 6² = 36 casistiche dove 6 sono favorevoli e 30 sfavorevoli

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va da se che sostituendo alla formula i numeri verrebbe

6*1 – 30*1 / 6+30 = -2/3   →   -66% 

v = 5 darebbe il rapporto 5:1 come neutro e logico, e di conseguenza se puntassimo 1 su x >10 ed 1 su x <10 avremmo comunque una vincita >0 in quanto probabile che eventi possibili e favorevoli si verifichino, perciò Probabilità P(E) >0

è vero che la probabilità P della somma di eventi E e G è uguale alla somma delle rispettive probabilità allora

P(E + G)   =    P(E) + P(G)

dove spesso ci troviamo a puntare su più di una casistica contemporaneamente, es: 1×2 della schedina ed è utile dire che le probabilità mutano grazie alla seguente espressione

P = f / f+s 

così come vittoria e perdita → p/v+p. Se ponessimo l’uguaglianza v/ p+v = f/ f+s allora avremmo davanti non solo la scommessa ma anche il compenso e nella sua composizione Probabilistica.

C’è un quesito storico che fu oggetto di vari approcci risolutivi il quale trovò ampio consenso nella risoluzione da parte di Pierre Fermat (1623 – 1662) e Nicolò Tartaglia (1499 – 1557) e che parla di 2 scommettitori e sull’interruzione di una partita svolta nel puntare in totale 24 monete (12+12) su un banale testa o croce. La partita si interrompe a 6 lanci su 9 totali lasciando il risultato di 4-2 vittorie di X nei confronti di Y; la domanda chiedeva quali e quante fossero le probabilità, nonché il guadagno per ogni casistica se avessero finito la partita?

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La tabella riassume tutte le opzioni dei lanci futuri riassunti nel punteggio che per ovvie ragioni non andrebbe al di là del 5; avremmo 4 colone per 5-2, 2 colonne per 5-3 e una sola per 4-5 e 5-4, quindi su un totale di 2³=8 casistiche un 50% di 5-2, un 25% di 5-3 ed un 12,5% per 4-5 e 5-4 per un totale di 4 esiti finali.
Ora tralasciamo i lanci dal 1 al 6 e concentriamoci sugli ultimi 3 (7,8,9). Abbiamo messo 3 come esponente di 2 possibili condizioni cioè testa o croce giusto? Ma allora questo 2³=8 che cos’è? è la sommatoria ∑ dei coefficienti binomiali disposti in maniera probabilistica ma sempre in ugual numero.

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i coefficienti del cubo di un binomio (a+b)³ nello specifico ma in generale nel famoso quadrato di Tartaglia.
Ma quante monete spettano ad X ed Y ad ogni casistica? partiamo dal fondo a partita finita:

  • al ^9 tiro corrispondono le ultime due colonne 4-5 e 5-4 dove le 24 monete vano a X o Y
  • all’^8 tiro eseguito avremmo un 4-4 dove 12 monete vanno a ad X e 12 vanno a Y, oppure 5-3 dove tutte e 24 andrebbero a X. Ancora prima, quindi salendo a sinistra incontriamo un 4-3 dove comunque a X vanno 12 monete ma ad Y 12/2 = 6 e le restanti 6 a X perché in questo caso il tiro non è stato ancora effettuato. Ricapitolando: X=18 ed Y=6 
  • al ^7 tiro abbiamo il nodo 4-2 dove se si fa 5-2 ad X vanno 24, 4-3 si danno 18 a X e 6 a Y ma se venisse interrotto prima cioè a punteggio 4-2 (quindi il ^6 tiro) ad X andrebbero  18 sicure + 6/2=3 quindi 21 monete a 3 per X.

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il dividere per due indica l’aleatorietà dell’uomo che calcola al 50% la probabilità di un risultato in assenza di variabili di percorso lasciando una sensazione di intelligente ignoranza matematica perché in fondo … nulla è esatto quanto prevedibile.

bibliografia

la matematica dell'incertezza - Marco Li Calzi

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#6A insieme InFinito


Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica

#8A Permutazioni e coefficienti Binomiali


Riassumendo il concetto una permutazione è un’applicazione iniettiva da un insieme finito X ad un’altro insieme finito Y dove ad uno ad uno che le x∈X vengono applicate alle y quest’ultime  saranno sempre meno da trovare in Y. La formula è la seguente:

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) … (n – i +1)

nel quadrato di un binomio come (a+b)² = a²+2ab+b² il 2 è la permutazione di ab dove all’interno di un insieme finito di elementi abbiamo 2 modi di interpretare a*b che sono ab e ba. Nel caso di un binomio di terzo grado come (a+b)³ le rispettive permutazioni di a²b e ab² sono in quanto abbiamo solo 3 opzioni di combinazione fra loro: a²b = (aab + aba + baa) e ab² = (bba + bab + abb).

Quindi di può asserire che le permutazioni formano delle partizioni all’interno di un insieme finito chiamate più comunemente Coefficienti. Nel nostro caso Binomiali.
La formula
per stabilire un coefficiente binomiale è ricavata tramite il principio di induzione dell’insieme delle parti dove all’interno di ogni C stanno tutte le possibili permutazioni al variare degli elementi n dell’insieme.

Va da sé che C è una partizione di X = {C i∪¥ i,jI : X = P(X)}

Questa relazione stretta tra Insieme delle parti, partizione di un insieme e permutazioni portò Isaac Newton a formulare l’equazione dei coefficienti binomiali dove l’intera relazione trova nella sommatoria ed in condizioni di esistenza 0≤k≤n dei vari coefficienti, una elegante e non scontata coerenza.
In sintesi ragioniamo sugli esponenti che corrispondono al numero di elementi di ogni partizione, sui coefficienti come quantità di “possibili formazioni” in relazione agli elementi stessi e con la sommatoria come segmento da traslare avanti ed indietro nell’espressione, ed avremo unito per induzione ben tre concetti in uno!

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seconda riga si sostituisce (a+b)^n con la sommatoria analoga. terza riga si moltiplica la sommatoria per a e b in verde, poi si opera sull’ordine della sommatoria. quarta riga si raccolgono i coefficiente grazie all’uguaglianza di a^n-kb^k e poi si sommano. ultima riga aggiungo i termini estremi a^n e b^n ristabilendo il numero di elementi della sommatoria totale.

esempio:

  • (a+b)³ = insieme X
  • a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = partizioni di X
  • 3 = Coefficiente Binomiale = numero permutazioni possibili
  • a²b = elementi del sottoinsieme relazionato al CB (in questo caso 3)
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica