#3AN Campo Ordinato Completo = R


Un campo è una struttura algebrica con una costante e due operazioni: (k,*,+)     ∀k∈K

che rispetta le seguenti proprietà: Associativa, Commutativa, Distributiva, Elemento Neutro. Un esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali Q.

Ordinato perché possiede una relazione “<” che soddisfa le seguenti proprietà: 

Transitiva – se a<b e b<c ⇒ a<c    ∀a,b,c ∈ K,     ne segue che l’elemento neutro per la moltiplicazione “c>0∈N” non ne cambia la l’ordine

Se a≠b ⇒ a<b ∨ b<a

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Completo perché assume il teorema di completezza: se A⊂R (A• assunto come l’insieme dei maggioranti di R) Superiormente Limitato allora A• ha un minimo. Viceversa se (A∝ assunto come l’insieme dei minoranti di R) Inferiormente Limitato allora A∝ ha una massimo.

Dimostrazione:

  • Sia A⊂R, A sup lim: A•={x∈R :x≥a, ∀a∈A} ≠ ∅            (definizione dell’insieme dei maggioranti come non vuoto)
  • scelgo il minimo dei maggioranti di A• scegliendo la minima cifra tra 0 e 9 delle varie parti di cui è composto il numero: β = c0,c1 c2 c3 c4 c5 … ck-1, ck, xk+1,xk+2 ..
  • Prendo un’ipotetico numero σ = c0,c1 c2 c3 c4 c5 …ck……
  • confronto β e σ: se σ possiede una cifra a ck-1 = 9 allora per il teorema dei resti avremo un numero 9 periodico che ∉R in quanto ck-1,ck,xk+1,xk+2 ecc saranno 9 anche loro.
  • Per assurdo assumo che σ A• allora esiste un numero ϒ>σ t.c. la k-esima cifra di ϒk>ck, ma allora σ>β!! e non ho scelto il minimo elemento dell’insieme dei maggioranti!
  • quindi σ=β oppure le loro k-esime cifre sono ck<bk t.c. σ≤β
  • lo stesso procedimento è possibile affrontarlo con l’insieme dei minoranti

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esempio

dimostrare che 1 è estremo superiore di A={∀n∈Q : (n-1)/n ≤1} o SupA=1

Sapendo che avere un estremo superiore vuol dire ammettere dei maggioranti; in questo caso da enunciato è esplicito che l’1 è il minimo dei maggioranti, ma per dimostrarlo vado per gradi.

Come prima domanda qual è la tesi dell’enunciato?

  • (n-1)/n ≤1 oppure SupA = 1

Se per ogni n appartenente a Q che sostituisco mi dà la disuguaglianza (n-1)/n≤1 allora 1 è il mio estremo superiore. E per dimostrarlo nego la tesi P.A. (per assurdo) dicendo che 1 non è SupA, quindi che Esiste un numero ε>0 che sottratto a 1 mi dà un’estremo superiore magari > (n-1)/n della seguente disuguaglianza:

1-ε   <(n-1)/n   ≤1

invece dopo opportuni calcoli mi risulta n>1/ε il che è sempre vero sempre perché stiamo all’interno dell’insieme Q dei razionali e conseguentemente

1/ε  <n  ≤1

1-ε è quell’elemento supposto massimo all’interno dell’insieme A e che sarà sempre minore di (n-1)/n per qualsiasi ε>0 io prenda. in altre parole avrò sempre un elemento massimo tra 1-ε ed 1 cioè (n-1)/n.

è il minore dei maggioranti? Sì perché se porto l’1 dentro all’insieme A: (n-1/n) – 1≤0 ottengo -1/n ≤0 sempre vero. Per quanto mi possa avvicinare ad 1 al massimo raggiungerò (n-1)/n per ogni n∈N.


Corriere della Sera

La Luna Poetica…


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Corriere della Sera

 

Dwight Eisenhower …

Il Pensiero è Positivo od anche il Percorso più Probabile?


Un evento per far si che si verifichi bisogna saperne l’aleatorietà? Il calcolo delle probabilità ci rassicura a riguardo e malgrado la nostra ansia, se puntassimo simultaneamente su due casistiche opposte, avremmo come risultante una vittoria = 1, es, testa o croce, pari o dispari ecc.

cropped-friedrich.jpgNei casi in cui avessimo n > 2 casistiche bisognerebbe vederne la posta in gioco se (f)avorevole o (s)favorevole secondo la formula

f*v – s*p / f+s 

Se tale espressione valesse 0 allora la (v)incita sarebbe equilibrata es:

Tiro 2 dadi da 6 e punto sull’uscita di un numero x >10, a quanto dovrebbe ammontare la ricompensa se ciò accadesse?
Per prima cosa abbiamo 6² = 36 casistiche dove 6 sono favorevoli e 30 sfavorevoli

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va da se che sostituendo alla formula i numeri verrebbe

6*1 – 30*1 / 6+30 = -2/3   →   -66% 

v = 5 darebbe il rapporto 5:1 come neutro e logico, e di conseguenza se puntassimo 1 su x >10 ed 1 su x <10 avremmo comunque una vincita >0 in quanto probabile che eventi possibili e favorevoli si verifichino, perciò Probabilità P(E) >0

è vero che la probabilità P della somma di eventi E e G è uguale alla somma delle rispettive probabilità allora

P(E + G)   =    P(E) + P(G)

dove spesso ci troviamo a puntare su più di una casistica contemporaneamente, es: 1×2 della schedina ed è utile dire che le probabilità mutano grazie alla seguente espressione

P = f / f+s 

così come vittoria e perdita → p/v+p. Se ponessimo l’uguaglianza v/ p+v = f/ f+s allora avremmo davanti non solo la scommessa ma anche il compenso e nella sua composizione Probabilistica.

C’è un quesito storico che fu oggetto di vari approcci risolutivi il quale trovò ampio consenso nella risoluzione da parte di Pierre Fermat (1623 – 1662) e Nicolò Tartaglia (1499 – 1557) e che parla di 2 scommettitori e sull’interruzione di una partita svolta nel puntare in totale 24 monete (12+12) su un banale testa o croce. La partita si interrompe a 6 lanci su 9 totali lasciando il risultato di 4-2 vittorie di X nei confronti di Y; la domanda chiedeva quali e quante fossero le probabilità, nonché il guadagno per ogni casistica se avessero finito la partita?

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La tabella riassume tutte le opzioni dei lanci futuri riassunti nel punteggio che per ovvie ragioni non andrebbe al di là del 5; avremmo 4 colone per 5-2, 2 colonne per 5-3 e una sola per 4-5 e 5-4, quindi su un totale di 2³=8 casistiche un 50% di 5-2, un 25% di 5-3 ed un 12,5% per 4-5 e 5-4 per un totale di 4 esiti finali.
Ora tralasciamo i lanci dal 1 al 6 e concentriamoci sugli ultimi 3 (7,8,9). Abbiamo messo 3 come esponente di 2 possibili condizioni cioè testa o croce giusto? Ma allora questo 2³=8 che cos’è? è la sommatoria ∑ dei coefficienti binomiali disposti in maniera probabilistica ma sempre in ugual numero.

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i coefficienti del cubo di un binomio (a+b)³ nello specifico ma in generale nel famoso quadrato di Tartaglia.
Ma quante monete spettano ad X ed Y ad ogni casistica? partiamo dal fondo a partita finita:

  • al ^9 tiro corrispondono le ultime due colonne 4-5 e 5-4 dove le 24 monete vano a X o Y
  • all’^8 tiro eseguito avremmo un 4-4 dove 12 monete vanno a ad X e 12 vanno a Y, oppure 5-3 dove tutte e 24 andrebbero a X. Ancora prima, quindi salendo a sinistra incontriamo un 4-3 dove comunque a X vanno 12 monete ma ad Y 12/2 = 6 e le restanti 6 a X perché in questo caso il tiro non è stato ancora effettuato. Ricapitolando: X=18 ed Y=6 
  • al ^7 tiro abbiamo il nodo 4-2 dove se si fa 5-2 ad X vanno 24, 4-3 si danno 18 a X e 6 a Y ma se venisse interrotto prima cioè a punteggio 4-2 (quindi il ^6 tiro) ad X andrebbero  18 sicure + 6/2=3 quindi 21 monete a 3 per X.

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il dividere per due indica l’aleatorietà dell’uomo che calcola al 50% la probabilità di un risultato in assenza di variabili di percorso lasciando una sensazione di intelligente ignoranza matematica perché in fondo … nulla è esatto quanto prevedibile.

bibliografia

la matematica dell'incertezza - Marco Li Calzi

 

#14A Teorema di Hartogs


Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

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Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine  e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#A8-#E


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Nel primo esercizio basta notare le analogie che stanno nell’uguaglianza dei due coefficienti per capire che forse è inutile stare a trasformare le permutazioni, quindi bastano pochi passaggi algebrici per capire che la soluzione è più vicina di quanto sembri

Nel secondo esercizio le condizioni di esistenza devono essere x≥4, quindi al primo passaggio sostituiamo la formula base coi valori dei seguenti coefficienti binomiali. Poi permutiamo il 4 al primo denominatore così lo si elimina; sotto permutiamo invece la serie x! per eliminare il (x-4)! sempre al den., mentre al di là dell’uguale facciamo lo stesso con (x-3)!
semplifichiamo algebricamente i fattori comuni, moltiplichiamo lo stesso denominatore *6 così lo possiamo eliminare per trovarci con un semplice passaggio ad x-3=5, x=8 che è ≥4 

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Al primo passaggio attuiamo la sostituazione alla formula madre n! / k!(n-k)!. nb. la seconda freccia verde in alto: sostituzione di k-1 e n-1 alla k di (n-k)! risulta [n-1-(k-1)]! cioè  [n-1-k+1]! quindi (n-k)!

So che (n-k)! = (n-k)(n-1-k)! e sostituisco
so che k! = k(k-1)! e sostituisco

effettuo il denominatore comune al penultimo passaggio e semplificando mi ritrovo la formula iniziale n! / k!(n-k)!
uguaglianza verificata con successo

 

 

 

#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica