#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉

#8An – l’importanza delLa Frontiera


se Accumulazione E'

Espressione Canonica:   ∂A ∪ A°c

  • A°: punti interni ad A
  • ∂A: la frontiera di A
  • A°c: punti interni all’insieme complementare Ac

immagino il seguente intervallo A: [0,1]
lo 0 è incluso nell’intervallo e rappresenta non solo il lim.inf. ma anche minimo e minorante, mentre l’1 è lim. sup., massimo e maggiorante 

A°complementare è (-∞,0) ∪ (1,+∞) = Ac

(1/n, n/n+1) è una copertura non adatta perché sostituendo una n arbitrariamente grande l’intervallo (0,1) si allarga sempre più senza raggiungere i punti estremi, quindi per coprirlo dovrei scrivere {0}∪(1/n, n/n+1)∪{1}; posso formare una sottocopertura di n finiti intervalli, per esempio: (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3). In questo modo lo rendo compatto 

è semplice capire che all’aumentare di n la funzione tende a sx a 0 ed a dx ad 1 rendendo le frontiere ∂A dei punti di accumulazione (A’) 

Grazie al teorema di comprensione metrica #An 7 so che un punto di accumulazione è quella bolla di punto p e di raggio r che intersecata con E ha al suo interno (per qualsiasi raggio ε>0) infiniti punti x∈E; inoltre i punti di accumulazione appartengono sempre alla frontiera ∂A che nel nostro caso [0,1] è interna all’intervallo rendendolo Chiuso!

  • La copertura (1/n, n/n+1) è aperta 
  • l’intervallo [0,1] è chiuso
  • la sottocopertura (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3) è di numero limitato
  • ⇒ A è compatto

#An7 Teorema di comprensione metrica


Legenda: 

  • p = punto
  • ∂E = frontiera di E
  • E’ = insieme derivato ovvero insieme dei punti di accumulazione di E 
  • Ec = insieme complementare di E

Qualsiasi insieme E ⊆ X (in R^n) abbiamo che E∪∂E ⇔ E∪E’

dimostriamo per prima ⇒ :

E∪∂E ⇒ E∪E’: dall’enunciato è sicuro che p∈ E, ma se appartenesse ad E e basta non avrebbe senso l’implicazione stessa, quindi  possiamo ipotizzare che ∉ E. questo significa che p∈ ∂E∩E’  

  1. p∉ E, questo significa che sta nella frontiera ∂E
  2. stare nella frontiera ∂E significa due cose: o essere isolato, oppure di accumulazione
  3. essere isolato non porta alla risoluzione quindi
  4. se p∈E’ allora ∃ un punto q≠p t.c q stia all’interno della bolla B(p,r), il che equivale a dire che E∪∂E ⇒ E∪E.

e per seconda:

E∪E’ ⇒ E∪∂E: se so che

  1. p∈E’ 
  2. essere di accumulazione significa stare sulla frontiera sia di E che di Ec t.c ∂E=∂Ec allora
  3. p∂E il che prova E∪E’ ⇒ E∪∂E

Conclusioni

  1. se E∪E’ è chiuso ⇒ Ec aperto
  2. se E∪E’ è aperto ⇒ Ec chiuso

tutto dipende dalla frontiera se è inclusa o no nell’intervallo

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#E4 cAmpo ComplessO 1


  1. A= {x∈C : Re(z)>0}
  2. B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
  3. C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
  4. D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
  5. E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}

Soluzione

A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y

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B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.

Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1

So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:

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C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.

u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo

x-iy/x²+y² = w

ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:

  • moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
  • porto di là il (D): y>x²+y²
  • porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
  • aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
  • i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1

Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni

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D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.

Risolvo Re z-(1/z)>0:

  • Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
  • da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
  • raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)

dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:

D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

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l’enunciato prende solo i punti interni in verde della circonferenza escludendo 1 come raggio e l’asse immaginaria y

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.

Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario

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Prendere solo i punti che stanno al di sotto della retta passante per l’origine ed iscritti nella circonferenza

 

#5AN sp4zio M3tric0


  1. Sia p∈Q e p∈I, I =numeri irrazionali e quindi complementare di Q ⇒ ∂Q = ∂I = R

Questo è sempre vero perché in una bolla B(p,r) (punto p e raggio r) la distanza d(p-r,p+r) avrà sempre dei punti razionali/irrazionali che apparterranno all’elemento di frontiera di uno o dell’altro insieme(Q ed I), conseguentemente è vero anche

2) il punto di frontiera ∂ ∃ necessariamente in Q∩I

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3) un punto o è di accumulazione o è isolato

un punto isolato significa 0<s<min[d(p,xn)]. Senza disegno immaginatevi che il punto p∈A sia una bolla di raggio s; e che questo s sia minore del minimo della distanza tra il suo centro p ed un centro di un’altro elemento x preso n finite volte ad esempio 6. Da qui ne consegue che

4) Se A è finito ⇒ A’ finito (e viceversa)

dove A’ è l’insieme dei punti di accumulazione o insieme derivato.

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5) A è chiuso ⇔ A’ ⊆ A

(X,d) metrico, ed A’ è l’insieme dei punti di accumulazione. Abbiamo la nostra bolla B(p,r) ed un nostro elemento x preso all’interno dello spazio metrico stesso. Ora ricordate il punto 3? Se il raggio della bolla B(p,r) era > della distanza minima d(p,xn) allora si aveva un punto di accumulazione? Bene se questo punto è un sottoinsieme di A allora A è chiuso ed Ac è aperto, altrimenti viceversa.
Ad esempio pensate all’insieme

E = {x∈X : d(p,x) <4}    ed il suo complementare    Ec = {x∈X : d(p,x) ≥4}

Qualsiasi punto p che prenda all’interno di E, per quanto vicino possa essere all’estremo superiore 4, il suo raggio non lo raggiungerà mai; questa fa sì che 4 sia un punto di accumulazione che ∉ E ma bensì al suo complementare che lo include col segno ≥. Perciò l’insieme derivato E’⊆Ec, ed Ec è chiuso, mentre E è aperto.

W.Szymborska-cop

6) Â = A ∪ A’       si chiama chiusura di A

esempi sono:

  • A = Q   ⇒   Â = R 
  •  Â = B(p,r) = {x∈Rˆn : ||p – r||≤ r }, che è l’unione degli insiemi E ed Ec

La chiusura possiede delle proprietà ovvie riferite anche a famiglie di insiemi e le loro unioni ed intersezioni, quindi considerano uno aspetto più ampio.

diamA = sup d(x,y)  oppure  diamA =  supA – infA      per      x,y ∈ A

immaginate due punti su di una retta R e prendete gli estremi superiori. La distanza che ne intercorre è il diametro dell’insieme A.

Se A< +∞ ⇒ A è limitato
Se diamA = 0    ⇒    A = {a}   elemento singolo

  • se l’elemento singolo è l’insieme A  ⇒ supA – infA = 0
  • se supA – infA ≠ 0 ⇒ ∃ε>0 che funge da gap per almeno i due punti estremi del diamA! In questo caso abbiamo che diamA ≤ sup d(x,y) dove x ed y sono B(x,r) e B(y,s), ne consegue che
  • diamA = diamÂ, dove supA – infA – 2ε < sup d(x,y) 
bibliografia
analisi matematica - soardi

#4AN pulizie Autunnali: retta, Parabola, ellisse, Iperbole e circonferenza


Equazione della Retta:

ax + by + c = 0       con       a,b,c ∈R,

oppure     y = mx + q   con   coefficiente angolare (m) e intercetta all’origine (q)

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Equazione della Parabola:

y = ax + bx + c = 0     con      a≠0

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Equazione dell’ellisse:

x²/a² + y²/b² = 1

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Equazione dell’iperbole:

x²/a² – y²/b² = 1     con    a>0, b>0

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Equazione della circonferenza:

x² +  y² + ax + by + c = 0       oppure      √(x−α)² + (y−β)² = √r²

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