Il tempo: direzione e probabilità


La differenza fra passato e futuro esiste solo quando c’è calore. Il fenomeno fondamentale che distingue il futuro dal passato è il fatto che il calore va dalle cose più calde alle cose più fredde.

Carlo Rovelli

Quando ero studente di Chimica mi piacevano le reazioni esoergoniche che liberavano calore più delle endoergoniche, perché c’era la sorpresa di trovare non solo dei prodotti dai reagenti ma anche energia, che immancabilmente dopo un certo Δ di tempo si dissipava nell’aria. Bene, questa “liberazione” segue una curva più o meno gaussiana “a campana” dove una salita esponenziale ed una discesa e–× sorreggono il picco per una lasso di tempo relativamente breve.
La medesima curva usata per calcolare il famoso R0 delle malattie infettive è la stessa che distribuisce gli indici di un polinomio (coefficiente binomiale) secondo la probabilità governata in natura dall’entropia, quella misura di disordine di un qualsiasi sistema fisico conosciuta con la lettera S. 

Ma tornando alla chimica per chi non lo sapesse esiste una costante che mi definisce il numero di particelle presenti in una mole di sostanza chiamato Numero di Avogadro ed è circa 6,022 * 10²³; praticamente è la quantità di atomi/molecole presenti, collegata con il peso atomico di ogni elemento e che funge da fattore di conversione. Per esempio il peso atomico dell’acqua è 18 (0=16, H+H=2) allora 18g di acqua avranno 6,022 * 10²³ molecole al suo interno: un numero abbastanza grande direi!

Quindi, a prescindere dall’energia che ne libera o necessita, una reazione tende da uno stato di ordine ad uno di disordine di tutti gli atomi seguendo una legge probabilistica di distribuzione, conferendone così la direzione temporale in tutti i processi presenti in natura. Come?
Immaginate di averne invece di 6,022 * 10²³ atomi/molecole solo 4 e l’asse del tempo che spazialmente ve li porti da un ambiente perturbato ad uno di equilibrio nella reazione che vorreste ottenere: ad esempio una vasca divisa in due da una barriera di plexiglass, dove da una parte c’è dell’acqua e dall’altra aria. Cosa succederebbe se levaste la barriera? La acqua andrebbe sx a dx e viceversa fino a ristabilire l’equilibrio nei due spazi; ebbene il numero di casistiche in cui potreste trovare disposti questi atomi, ammesso siano solo 4, corrisponderebbero a 4! =4* 3*2*1, mentre in quanti modi potreste combinarli tra loro rispondono invece a 24=16:

  1. s = sinistra e d = destra
  2. ssss, sssd, sdds, sddd, ssds, dsss, ssdd, sdsd, ddds, dsds, ddss, ddsd, dsss, dsdd, dssd, dddd.

perciò 2/16 agli estremi (ssss, dddd), 4/16 più sx che dx (sssd, ssds, dsss, sdss) e 4/16 più dx che sx (sddd, dsdd, ddds, ddsd) ed infine al centro 6/16 (ddss, dsds, dssd, sdds, sdsd, ssdd).

N sono gli atomi/molecole totali ed è esattamente la somma di n + n’ che sono il liquido a sx + il gas a dx prima che la barriera venga tolta. Dal momento che la leviamo andremo ad agire in maniera probabilistica sulle molecole a livello microscopico andando ad equilibrare verso l’entropia lo stato macroscopico del nostro ambiente.
La formula generalizzata delle probabilità con cui n molecole si trovano a dx o sx rispetto alle totali è:

P(N) = n! / N!

Essa tende a 0 per N→ 6,022*1023.

la curva che va a zig zag è l’andamento nelle molecole che da dx a sx si stabilizzeranno nel mezzo dove è più probabile tale configurazione, che corrisponde ad esattamente N/2 nel macroambiente, ed è dettata dalla funzione 1/2N per N che tende a 6,022*1023 .

Lo stesso grafico roteato di 90 gradi. In ascissa abbiamo (t) dove la funzione 1/2^n porta il grafico all’equilibrio di maggiore probabilità

Il recipiente arriva all’equilibrio esattamente quando il grafico è prossimo allo 0 ma questo non garantisce che rimanga nel tempo esattamente a N/2. Inoltre più N è grande e più è improbabile trovare molecole raggruppate a dx o sx in un macroambiente una volta perturbato, questo perché la deviazione standard (scarto quadratico medio) stimata come la media √1/N di tutti gli scostamenti relativi al N assoluto mi indica l’oscillazione della parte centrale del cambiamento di stato dove alcune molecole andranno da dx a sx e viceversa in un lasso di Δt ; infatti se ipotizzassimo 100 molecole divise in 50 a dx e 50 a sx avremmo teoricamente √1/N = √1/100 = 1/10

45 ————– 5+5 ————- 45

Tirando le somme la direzione del tempo percepito sulla Terra scorre in una sola direzione perché nell’opposta diventerebbe trascurabile ed improbabile per l’esigua distribuzione delle molecole in un macroambiente, conclusione accettabile se si guarda solamente l’aspetto chimico/fisico: se scorresse al contrario?
Teoricamente soluzione comunque possibile.

S.

Come siete Serie


Successioni e Serie sono il modo astratto per spiegare una parte della probabilità degli eventi e della struttura fisica del mondo.
Non mi dilungherò su tale argomento ma vorrei fare delle piccole considerazioni trasversali che occupano questo braccio della matematica.

criterioGli argomenti son molti e tutti di eguale importanza perciò parto dai concetti primari: distinzione tra criterio e condizione.
Un criterio è un giudizio la condizione è un accordo, perciò dal n1 al n5 io stabilisco senza equivoco che “quella cosa” va in una determinata direzione piuttosto che in un’altra mentre l’unica condizione ammessa nella tabella è quella di Cauchy.

Se ben ricordo la struttura di una dimostrazione si avvale sempre di una ipotesi necessaria e di una tesi sufficiente; in pratica è sufficiente avere una tesi per dimostrare una proposizione oppure allo stesso tempo una ipotesi necessaria per formulare una tesi. Morale? “non ti basta un’ipotesi. devi avere una tesi per dimostrare.

Specificato questo, se la mia condizione per ipotesi è quella di Cauchy allora ho il primo passo necessario per dimostrare appunto la convergenza di una serie. Infatti:

  • ∀ε>0       ∃nº    ∀m,n ≥nº    :d(Xn,Xm)<ε
  • d(Xn,Xm) ≤ d(Xn,p) + d(Xm, p) <ε
  • |Ak-Ah| <ε    per pº≤p

dicono la stessa cosa ed hanno come elemento cardine che separa “la distanza” tra la successione/serie dal raggio ε.
In quanto ipotesi è necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza e questo dipende “quanto velocemente” la serie mi tende ad un limite: il controesempio è qui sotto e ritrae il confronto tra due (e qua mi scuso) funzioni che mostrano l’andamento della convergenza ad 1 di 1+1/x² rispetto a 1+1/x per il calcolo del Limite.

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Quindi per le serie convergenti una condizione necessaria ma non sufficiente è quella di Cauchy, infatti spesso viene rinforzata da altri criteri e sono quelli della radice, del rapporto, di condensazione e di Leibniz (pt 1,3,4,5) usati a loro volta per stabilire il carattere della serie al variare del limite  0 <α  ≤1 oppure 1<α ≤+∞.
Il rapporto (pt1) è uno strumento polivalente perché esso mi dà sia informazioni sulle successioni se crescenti o decrescenti (se > o < di 1) ma anche sulla convergenza o divergenza delle serie, nonché sfrutta la decrescenza di valori tramite An+1<An per ipotesi per poi condensare il carattere della mia serie in una formula a partire da una restrizione della stessa. Di base il criterio di condensazione si usa per serie visibilmente convergenti già dall’inizio dove al numeratore abbiamo una costante che cambia di poco rispetto al denominatore, mentre il criterio della radice si avvale spesso del confronto in caso di convergenza perché se il limite della mia serie An²<α  è 0≤α<1 allora a maggior ragione An convergerà.

Il concetto di assoluta convergenza mi dice però che se il modulo delle somme della serie è assolutamente convergente allora la somma dei moduli è convergente. Questa “restrizione” dove prendo solo i valori positivi di una serie, come ad esempio in sin n, risulta indicatrice per tutti i valori della sommatoria, ma attenzione: ciò che è convergente non è detto che lo sia assolutamente, infatti basti pensare ad una serie a segno alterno dettata da per esempio (-1)^n* 1/n, dove 1/n è infinitesima all’aumentare di n ma non convergente in quanto serie armonica oltre che di riferimento.
Leibniz si avvale del rapporto di An/An+1 per dimostrare, come per le successioni, che la serie crescente sia convergente.
Pensare alla convergenza (An/An+1) come un treno in corsa ed alla crescita (1/n) come un passeggero che seppur correndo in direzione opposta, venga comunque converso.

Morale le ipotesi per il criterio di Condensazione e di Leibniz sono le medesime:

  • An > 0    ∀n
  • An ≥ An+1     ∀n

ma rispondono in maniera differente alla stessa domanda sulla natura della serie, con due sole differenza per Leibniz dove n →+∞ di An = 0 e la presenza di (-1)^n: l’elemento “sfarfallante” che obbliga la serie a tendere verso 0 sia da positivi che da negativi, dandomi informazioni sulle sottosuccessioni A2n > A2n+1, le quali rapportate al limite a cui tende il mio oggetto, rendono l’errore trascurabile al termine a2n+1 successivo qualsiasi cifra significativa io prenda in considerazione.

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Last but not least e come da ultimo esempio, ciò che per le successioni si determinano la crescita o decrescita, per le serie son la convergenza o divergenza, ed è la particolare attenzione che va quasi esclusivamente ai punti di accumulazione situati in prossimità di un limite che rendono in maniera capillare e metodico lo studio sulla convergenza stessa.

#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉

#8An – l’importanza delLa Frontiera


se Accumulazione E'

Espressione Canonica:   ∂A ∪ A°c

  • A°: punti interni ad A
  • ∂A: la frontiera di A
  • A°c: punti interni all’insieme complementare Ac

immagino il seguente intervallo A: [0,1]
lo 0 è incluso nell’intervallo e rappresenta non solo il lim.inf. ma anche minimo e minorante, mentre l’1 è lim. sup., massimo e maggiorante 

A°complementare è (-∞,0) ∪ (1,+∞) = Ac

(1/n, n/n+1) è una copertura non adatta perché sostituendo una n arbitrariamente grande l’intervallo (0,1) si allarga sempre più senza raggiungere i punti estremi, quindi per coprirlo dovrei scrivere {0}∪(1/n, n/n+1)∪{1}; posso formare una sottocopertura di n finiti intervalli, per esempio: (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3). In questo modo lo rendo compatto 

è semplice capire che all’aumentare di n la funzione tende a sx a 0 ed a dx ad 1 rendendo le frontiere ∂A dei punti di accumulazione (A’) 

Grazie al teorema di comprensione metrica #An 7 so che un punto di accumulazione è quella bolla di punto p e di raggio r che intersecata con E ha al suo interno (per qualsiasi raggio ε>0) infiniti punti x∈E; inoltre i punti di accumulazione appartengono sempre alla frontiera ∂A che nel nostro caso [0,1] è interna all’intervallo rendendolo Chiuso!

  • La copertura (1/n, n/n+1) è aperta 
  • l’intervallo [0,1] è chiuso
  • la sottocopertura (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3) è di numero limitato
  • ⇒ A è compatto

#An7 Teorema di comprensione metrica


Legenda: 

  • p = punto
  • ∂E = frontiera di E
  • E’ = insieme derivato ovvero insieme dei punti di accumulazione di E 
  • Ec = insieme complementare di E

Qualsiasi insieme E ⊆ X (in R^n) abbiamo che E∪∂E ⇔ E∪E’

dimostriamo per prima ⇒ :

E∪∂E ⇒ E∪E’: dall’enunciato è sicuro che p∈ E, ma se appartenesse ad E e basta non avrebbe senso l’implicazione stessa, quindi  possiamo ipotizzare che ∉ E. questo significa che p∈ ∂E∩E’  

  1. p∉ E, questo significa che sta nella frontiera ∂E
  2. stare nella frontiera ∂E significa due cose: o essere isolato, oppure di accumulazione
  3. essere isolato non porta alla risoluzione quindi
  4. se p∈E’ allora ∃ un punto q≠p t.c q stia all’interno della bolla B(p,r), il che equivale a dire che E∪∂E ⇒ E∪E.

e per seconda:

E∪E’ ⇒ E∪∂E: se so che

  1. p∈E’ 
  2. essere di accumulazione significa stare sulla frontiera sia di E che di Ec t.c ∂E=∂Ec allora
  3. p∂E il che prova E∪E’ ⇒ E∪∂E

Conclusioni

  1. se E∪E’ è chiuso ⇒ Ec aperto
  2. se E∪E’ è aperto ⇒ Ec chiuso

tutto dipende dalla frontiera se è inclusa o no nell’intervallo

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#E4 cAmpo ComplessO 1


  1. A= {x∈C : Re(z)>0}
  2. B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
  3. C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
  4. D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
  5. E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}

Soluzione

A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y

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B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.

Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1

So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:

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C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.

u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo

x-iy/x²+y² = w

ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:

  • moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
  • porto di là il (D): y>x²+y²
  • porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
  • aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
  • i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1

Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni

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D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.

Risolvo Re z-(1/z)>0:

  • Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
  • da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
  • raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)

dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:

D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

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l’enunciato prende solo i punti interni in verde della circonferenza escludendo 1 come raggio e l’asse immaginaria y

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.

Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario

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Prendere solo i punti che stanno al di sotto della retta passante per l’origine ed iscritti nella circonferenza