#11a Ricorsione Forte: Fibonacci e forme Induttive

Principio di Induzione

I Forma

  1. abbiamo P(n) 
  2. P(0) è vera – Peano
  3. P(k) è vera  ⇒ P(k+1) è vera

E qui la ricorsione è data dall’affermazione della proposizione P che se vale per k+1allora vale per n. La stessa la si trova nella seguente analogia

x+0=x,     x+S(y) = S(x+y)

x*0=x,   x*S(y) = x*y + x

x^0=1,    x^n+1 = x^n*x   [oppure]   x^n-1*x = x^n

Fibonacci nel un esempio singolare di induzione in quanto come serie numerica tiene conto di ben 2 numeri precedenti i quali sommati danno il terzo. La curiosità è che tutta la serie dà come immagine una funzione di restrizione dei N naturali formata dai sottoinsiemi in H al variare di i<n

IMG_5698

w = N numeri naturali

II Forma

  1. abbiamo P(n)
  2. P(0) è vera
  3. allora ¥m>0, se A(k) è Vera ¥0≤k<m, ⇒ A(m) è Vera, quindi
  4. A(n) è vera ¥n∈N

Qui la forma si complica ma si completa perché al posto di un indice ne abbiamo 2 cioè k,ν.

Supponiamo di avere m=4, allora la formula scritta in blu dovrebbe valere per qualsiasi 2 ≤ν ≤k ≤m perché giustamente per 0 ed 1 è già verificata come vera.

img_5702.jpg

come viene suddivisa la sommatoria prendendo come esempio m=4

Detto questo verifichiamo se per la condizione più “stretta” 2 =ν =k =m può valere per tutti gli m+1 oltre il 2.

img_5703.jpg

prima riga = f(n)= secondo membro. Seconda riga ipotesi di f(n+1) al membro di dx. Terza riga è la tesi dove aggiungo all’f(n) di sx il +1. Quarta riga affermo la tesi tramite calcoli algebrici

  1. alla prima riga riscrivo l’equazione nella forma originaria
  2. ci aggiungo, a destra la sommatoria sostitutiva di m+1 di sx. In rosso la freccia indica la stessa parte. La seconda riga è L’ipotesi induttiva che deve essere verificata, per capirci f(n+1)
  3. Prendo il secondo membro dell’uguaglianza del punto 1 e ci aggiungo il “+1″ che è la sommatoria del f(n+1). La trasformo in modo d’avere le sommatorie identiche (segante in blu)
  4. proprietà distributiva e raccolgo la parte comune del punto 3 e la moltiplico per il “+1” dei 2 indici ottenendo esattamente la formula iniziale ma con k,ν che vanno fino a m+1
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#6a insieme InFinito

Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

IMG_5637

Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

img_5645-e1519639099982.jpg

 

f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica
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