#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#E4 cAmpo ComplessO 1


  1. A= {x∈C : Re(z)>0}
  2. B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
  3. C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
  4. D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
  5. E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}

Soluzione

A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y

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B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.

Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1

So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:

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C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.

u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo

x-iy/x²+y² = w

ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:

  • moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
  • porto di là il (D): y>x²+y²
  • porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
  • aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
  • i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1

Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni

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D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.

Risolvo Re z-(1/z)>0:

  • Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
  • da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
  • raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)

dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:

D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

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l’enunciato prende solo i punti interni in verde della circonferenza escludendo 1 come raggio e l’asse immaginaria y

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.

Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario

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Prendere solo i punti che stanno al di sotto della retta passante per l’origine ed iscritti nella circonferenza

 

#5AN sp4zio M3tric0


  1. Sia p∈Q e p∈I, I =numeri irrazionali e quindi complementare di Q ⇒ ∂Q = ∂I = R

Questo è sempre vero perché in una bolla B(p,r) (punto p e raggio r) la distanza d(p-r,p+r) avrà sempre dei punti razionali/irrazionali che apparterranno all’elemento di frontiera di uno o dell’altro insieme(Q ed I), conseguentemente è vero anche

2) il punto di frontiera ∂ ∃ necessariamente in Q∩I

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3) un punto o è di accumulazione o è isolato

un punto isolato significa 0<s<min[d(p,xn)]. Senza disegno immaginatevi che il punto p∈A sia una bolla di raggio s; e che questo s sia minore del minimo della distanza tra il suo centro p ed un centro di un’altro elemento x preso n finite volte ad esempio 6. Da qui ne consegue che

4) Se A è finito ⇒ A’ finito (e viceversa)

dove A’ è l’insieme dei punti di accumulazione o insieme derivato.

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5) A è chiuso ⇔ A’ ⊆ A

(X,d) metrico, ed A’ è l’insieme dei punti di accumulazione. Abbiamo la nostra bolla B(p,r) ed un nostro elemento x preso all’interno dello spazio metrico stesso. Ora ricordate il punto 3? Se il raggio della bolla B(p,r) era > della distanza minima d(p,xn) allora si aveva un punto di accumulazione? Bene se questo punto è un sottoinsieme di A allora A è chiuso ed Ac è aperto, altrimenti viceversa.
Ad esempio pensate all’insieme

E = {x∈X : d(p,x) <4}    ed il suo complementare    Ec = {x∈X : d(p,x) ≥4}

Qualsiasi punto p che prenda all’interno di E, per quanto vicino possa essere all’estremo superiore 4, il suo raggio non lo raggiungerà mai; questa fa sì che 4 sia un punto di accumulazione che ∉ E ma bensì al suo complementare che lo include col segno ≥. Perciò l’insieme derivato E’⊆Ec, ed Ec è chiuso, mentre E è aperto.

W.Szymborska-cop

6) Â = A ∪ A’       si chiama chiusura di A

esempi sono:

  • A = Q   ⇒   Â = R 
  •  Â = B(p,r) = {x∈Rˆn : ||p – r||≤ r }, che è l’unione degli insiemi E ed Ec

La chiusura possiede delle proprietà ovvie riferite anche a famiglie di insiemi e le loro unioni ed intersezioni, quindi considerano uno aspetto più ampio.

diamA = sup d(x,y)  oppure  diamA =  supA – infA      per      x,y ∈ A

immaginate due punti su di una retta R e prendete gli estremi superiori. La distanza che ne intercorre è il diametro dell’insieme A.

Se A< +∞ ⇒ A è limitato
Se diamA = 0    ⇒    A = {a}   elemento singolo

  • se l’elemento singolo è l’insieme A  ⇒ supA – infA = 0
  • se supA – infA ≠ 0 ⇒ ∃ε>0 che funge da gap per almeno i due punti estremi del diamA! In questo caso abbiamo che diamA ≤ sup d(x,y) dove x ed y sono B(x,r) e B(y,s), ne consegue che
  • diamA = diamÂ, dove supA – infA – 2ε < sup d(x,y) 
bibliografia
analisi matematica - soardi

#E3 -#3AN – maggiorante non è Massimo


E = {r ∈Q+ : r² <2},     C+={∀x∈R : x≥r},    3>r? 

C+ è l’insieme dei maggioranti dell’insieme E e 3 è un elemento di di C+ in quanto in E esistono solo r²<2. 

  1. P.Assurdo inverto la TS: 3<r,
  2. ma allora 3 ∈Q
  3. prendo un’altro maggiorante per comodità di calcolo per es. 9
  4. porto dentro il 9 in E: r²<2<9<r
  5. trascuro il 2 come più basso maggiorante riducendo così la disequazione a
  6. r²<9    → r² -9<0    → (r+3)(r-3)<0 
  7. r+3<0 → r<-3 non è soluzione, ma r-3<0 mi dà r<3

r < 3 è esattamente la TS iniziale che mi conferma che 3 è un maggiorante di E

concert-lights-hands

 

#2AN Trigonodietro le formule Parametriche


Ridurre di forma ⊆ Semplificare ⊆ Risolvere. 

In generale dietro ogni formula stanno calcoli di ragionamenti più che ragionamenti di calcoli e le formule parametriche per risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche ne sono un semplice esempio

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L’unico requisito fondamentale per iniziare è sapere le formule di duplicazione del seno e coseno.

  • sin2α = 2sinα*cosα
  • cos2α = cos²α – sin²α

Appurato questo sinα corrisponde a sinα = sin[2*α/2]  allora possiamo sostituire sinα e cosα con le suddette formule con la sola differenza che al posto di α c’è α/2.

Procedendo il prossimo step richiama una legge fondamentale della trigonometria che deriva direttamente dal teorema di Pitagora: sin²α + cos²α = 1; se sappiamo che il denominatore è appunto 1 allora basta sostituirlo per ottenere l’uguaglianza a fondo pagina.

nb. la quantità α o α/2 o x o 34/23 non ha una reale importanza, è solo una misura all’interno di una formula, di una struttura 

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Questo punto, dopo ben 2 sostituzioni, dobbiamo fare un ragionamento che richiede un po’ di intuizione, ma prima ci serve il terzo requisito da sapere per operare nella terza sostituzione dell’equazione: sinα/cosα = tgα ….

…. Ma prima, alla luce di tale uguaglianza il ragionamento consta in questo: cosa succederebbe se dividessi per cos²α?

“Cosa succederebbe se facessi così?” è, parere del tutto personale, la domanda per antonomasia che muove la curiosità dell’uomo a cercare una soluzione in qualsiasi campo, che può risultare elementare ma non scontata in scienza, la cui forza è promotrice di grandi scoperte anche al limite del casuale. 

Le seguenti sostituzioni sono delle semplificazioni che riducono la formula alla prima formula parametrica del sinα

nb. cos²α/2 deve essere posto ≠ 0 perché un denominatore = 0 classificherebbe la frazione impossibile. Quindi cos²α/2 ≠ π/2 e 3/2π + kπ ricordando la funzione di cosα

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Analogo procedimento lo attuiamo per trovare cosα, quindi per prima cosa divido sia numeratore che denominatore per cos²α/2, semplifico e sapendo che la ctgα = cosα/sinα trova la seconda formula parametrica.

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last but not least se so che senα/cosα = tgα allora posso ricavarmi la formula parametrica anche della tgα 

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Dwight Eisenhower …


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Corriere della Sera

 

#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

Separatore-Grigio

Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#14A Teorema di Hartogs


Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

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Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine  e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia