Come siete Serie


Successioni e Serie sono il modo astratto per spiegare una parte della probabilità degli eventi e della struttura fisica del mondo.
Non mi dilungherò su tale argomento ma vorrei fare delle piccole considerazioni trasversali che occupano questo braccio della matematica.

criterioGli argomenti son molti e tutti di eguale importanza perciò parto dai concetti primari: distinzione tra criterio e condizione.
Un criterio è un giudizio la condizione è un accordo, perciò dal n1 al n5 io stabilisco senza equivoco che “quella cosa” va in una determinata direzione piuttosto che in un’altra mentre l’unica condizione ammessa nella tabella è quella di Cauchy.

Se ben ricordo la struttura di una dimostrazione si avvale sempre di una ipotesi necessaria e di una tesi sufficiente; in pratica è sufficiente avere una tesi per dimostrare una proposizione oppure allo stesso tempo una ipotesi necessaria per formulare una tesi. Morale? “non ti basta un’ipotesi. devi avere una tesi per dimostrare.

Specificato questo, se la mia condizione per ipotesi è quella di Cauchy allora ho il primo passo necessario per dimostrare appunto la convergenza di una serie. Infatti:

  • ∀ε>0       ∃nº    ∀m,n ≥nº    :d(Xn,Xm)<ε
  • d(Xn,Xm) ≤ d(Xn,p) + d(Xm, p) <ε
  • |Ak-Ah| <ε    per pº≤p

dicono la stessa cosa ed hanno come elemento cardine che separa “la distanza” tra la successione/serie dal raggio ε.
In quanto ipotesi è necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza e questo dipende “quanto velocemente” la serie mi tende ad un limite: il controesempio è qui sotto e ritrae il confronto tra due (e qua mi scuso) funzioni che mostrano l’andamento della convergenza ad 1 di 1+1/x² rispetto a 1+1/x per il calcolo del Limite.

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Quindi per le serie convergenti una condizione necessaria ma non sufficiente è quella di Cauchy, infatti spesso viene rinforzata da altri criteri e sono quelli della radice, del rapporto, di condensazione e di Leibniz (pt 1,3,4,5) usati a loro volta per stabilire il carattere della serie al variare del limite  0 <α  ≤1 oppure 1<α ≤+∞.
Il rapporto (pt1) è uno strumento polivalente perché esso mi dà sia informazioni sulle successioni se crescenti o decrescenti (se > o < di 1) ma anche sulla convergenza o divergenza delle serie, nonché sfrutta la decrescenza di valori tramite An+1<An per ipotesi per poi condensare il carattere della mia serie in una formula a partire da una restrizione della stessa. Di base il criterio di condensazione si usa per serie visibilmente convergenti già dall’inizio dove al numeratore abbiamo una costante che cambia di poco rispetto al denominatore, mentre il criterio della radice si avvale spesso del confronto in caso di convergenza perché se il limite della mia serie An²<α  è 0≤α<1 allora a maggior ragione An convergerà.

Il concetto di assoluta convergenza mi dice però che se il modulo delle somme della serie è assolutamente convergente allora la somma dei moduli è convergente. Questa “restrizione” dove prendo solo i valori positivi di una serie, come ad esempio in sin n, risulta indicatrice per tutti i valori della sommatoria, ma attenzione: ciò che è convergente non è detto che lo sia assolutamente, infatti basti pensare ad una serie a segno alterno dettata da per esempio (-1)^n* 1/n, dove 1/n è infinitesima all’aumentare di n ma non convergente in quanto serie armonica oltre che di riferimento.
Leibniz si avvale del rapporto di An/An+1 per dimostrare, come per le successioni, che la serie crescente sia convergente.
Pensare alla convergenza (An/An+1) come un treno in corsa ed alla crescita (1/n) come un passeggero che seppur correndo in direzione opposta, venga comunque converso.

Morale le ipotesi per il criterio di Condensazione e di Leibniz sono le medesime:

  • An > 0    ∀n
  • An ≥ An+1     ∀n

ma rispondono in maniera differente alla stessa domanda sulla natura della serie, con due sole differenza per Leibniz dove n →+∞ di An = 0 e la presenza di (-1)^n: l’elemento “sfarfallante” che obbliga la serie a tendere verso 0 sia da positivi che da negativi, dandomi informazioni sulle sottosuccessioni A2n > A2n+1, le quali rapportate al limite a cui tende il mio oggetto, rendono l’errore trascurabile al termine a2n+1 successivo qualsiasi cifra significativa io prenda in considerazione.

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Last but not least e come da ultimo esempio, ciò che per le successioni si determinano la crescita o decrescita, per le serie son la convergenza o divergenza, ed è la particolare attenzione che va quasi esclusivamente ai punti di accumulazione situati in prossimità di un limite che rendono in maniera capillare e metodico lo studio sulla convergenza stessa.

Successione verso Nepero


Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En =(1+1/n)^n sia crescente, decrescente e limitata superiormente per n→ +∞ in

  1. Crescente Dimostrazione diretta: En-1< En   (En/ En-1) >1

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Perché è strettamente crescente? Consiglio, in generale, prima di partire con qualsiasi dimostrazione di sostituite un valore alla variabile n così da vedere la En (chiamiamola scorrettamente ƒ(x)) crescere (o decrescere) a seconda dei casi.

“tutto dipende da come si guardano le cose”

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Se En/ En-1 >1 allora En/En-1 è vera e decresce all’aumentare di n, quindi ad L non lo calcolerò mai se non estendo un raggio ε>0 in modo da avere L-ε ≤ En0 ≤ En < L per ogni no<n. 
In un certo senso mi avvicino al limite tramite il calcolo del rapporto se questo rapporto è superiore ad 1 come da tesi.
Sembra quasi fuorviante fare un ragionamento inverso (Se En/ En-1 >1 allora En/En-1) per poi nei calcoli dimostrarlo direttamente, quindi si potrebbe fare anche direttamente (se En/En-1 alloraEn/ En-1 >1)? No. Verrebbe meno il significato di limite come concetto topologico, perché dovrei ipotizzare En come limite di En-1 vista la disuguaglianza stretta < e prendere comunque un ε>0 che mi parta da En come da L…in pratica è come dire che la serie successiva (che ha un suo andamento preciso) è il limite di quella precedente…non sense!

P.Assurdo invece avrei dovuto negare la tesi in questo modo: En/ En-1 <1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 con la conseguente ipotesi En-1 < En falsa!
Infine condizione necessaria affinché En+1 < En è che En/ En-1 >1mentre invece è sufficiente che En/ En-1 >1 per sapere che En-1 < En

Ultimo accenno alla disuguaglianza di Jacob Bernoulli (1+ En)^n > 1 + nEn sempre vera.
Essa è un po’ la prova del nove sul fatto che 1 meno qualcosa di piccolo > di 1 meno qualcosa di più grande, quasi quanto arrivare, come in questo caso, allo 0.

Bibliografia:
Analisi Matematica – Paolo Maurizio Soardi

PA non solo Per Assurdo


Chi sa cos’è una PA?
In italiano si dice Analisi Predittiva ed è un processo che richiede lo sviluppo di un modello adatto per quella azienda che ha bisogno di un “aggiustamento” di fatturato, sempre in positivo, e che si avvale di big data (enormi quantità di dati) interpretati dalla figura del data analyst.
Ogni applicazione della PA è definita da due punti:

  1. Che cosa viene previsto: il tipo di comportamento (azione, evento) da prevedere per ciascun individuo
  2. Come viene utilizzato: le decisioni motivate dalle previsioni ovvero l’azione intrapresa dalle aziende in risposta alla previsione.

In pratica l’azienda B decide di alzare il fatturato o di acquisire credibilità sul mercato nel suo settore e per battere la concorrenza investe ingenti somme di denaro per l’acquisto di dati da un’altra azienda A che ne raccoglie enormi quantità proprio del settore in cui l’azienda B abbisogna; presto fatto B paga A ed A sviluppa dei modelli (o standard) differenti che la “ingrossano” a discapito della concorrenza.
Grazie ai dati raccolti negli ultimi 4 anni la “Google Flu Trends” ha sviluppato una PA dove la tendenza delle persone a cercare rimedi per l’influenza sui loro motori di ricerca ne prevede la sua diffusione; in soldoni significa che i nostri “movimenti di ricerca” sono indicatori di malattia. E’ un po’ come dire “la ricerca mi porta alla malattia” e non il contrario.
Per farvi un’idea la Pa di Yahoo! stessa ha scoperto che chi vede un banner di un’azienda ha la probabilità del 61% superiore di altre che il consumatore ci clicchi per cercare informazioni, col conseguente aumento di fatturato del 249%. Immaginate quindi la potenza di tale strumento…?
Ma veniamo alla tanto discussa app Immuni.
Il Financial Times nel 2014 scrisse “quello che manca è la teoria, la capacità di raccogliere e analizzare i dati per rispondere a domande complesse. Il problema dei “big data” non è il big, ma l’idea che la quantità possa eludere il problema dei modelli interpretativi e causali”: focus e target da implementare. Ma a smorzare tali affermazioni ci pensa “La Stampa” che riprendendo un articolo de “il Post”, sempre di quell’anno, asserisce che dal 2008 ad oggi la Google Flu Trends avrebbe comunque sbagliato di molto le previsioni sui trend influenzali: tanta gente che si fida dei medici piuttosto che di una multinazionale o perché chi cerca non ha un medico di base o forse perché l’influenza stessa non è motivo di ricerca assidua quanto un’altra cura per un’altra malattia? Non lo sappiamo, se non che da un po’ di anni a questa parte gli analisti stanno affinando le tecniche per abbassare il più possibile il margine di errore.
Abbiamo avuto l’esperienza di questo virus che ha messo in ginocchio il sistema sanitario territoriale nazionale; infatti lo (si fa per dire) scoglio per le nazioni come la nostra non è stato solo far fronte ad una crescita esponenziale di casi allestendo delle terapie intensive in ogni struttura nel minor tempo possibile, ma soprattutto di agire in maniera preventiva evitando che il paziente ci arrivasse in fase avanzata di malattia.

Presa visione della falla ed indipendentemente dalle ragioni di base che l’hanno scaturita, l’applicazione Immuni risulta un assist per le multinazionali, non solo a cedere i nostri dati, ma a calcolarne in maniera affidabile delle PA pagate a peso d’oro grazie ai dati ricavati dall’app.
Dove sta il cambio? Probabilmente nel progressivo innalzamento di credibilità ed affidabilità di Google nel prevedere dove, come l’influenza si sviluppa nel mondo e come porvi iniziale rimedio senza scomodare il medico di base con la proporzionale decrescita di professionisti del settore sanitario territoriale?

Potrebbe essere un’ipotesi.

Bibliografia e riferimenti:
Eric Siegel – Analisi Predittiva
https://cristinacenci.nova100.ilsole24ore.com/2014/04/06/google-flu-trends-big-data-senza-big-theory/?refresh_ce=1
https://www.lastampa.it/opinioni/editoriali/2014/03/18/news/l-influenza-non-si-cura-con-google-1.35778856

 

 

Covid – 19: modello contagioso


Provo a fare chiarezza più discorsiva con il modello matematico SIR già visto in questi giorni ma non forse ben recepito. Parto dalla fine: cos’è R0? è l’indice di infettività che ha ogni malattia ed è una “stima” composta dal rapporto tra λ e ϒ, due costanti che ci indicano gli infetti sui guariti

R0 = λ / ϒ

Ora si ratta solo di andare a scoprire queste due costanti da cosa sono date e che informazioni ci comunicano.

Immaginatele dei vettori che come dei pullman portano gente da un’area all’altra: abbiamo quindi λ che porta le persone suscettibili (non sane) facendole scendere nell’area infetti I e ϒ che trasporta gli infetti fino alla zona di guarigione R.
Va da sé capire che sono strettamente correlate fra loro perché in un’arco di tempo più o meno lungo, si passerà da 1/100 a 50/50 fino a 100/1 dove tutti saranno contagiati e/o guariti, situazione utopica, per afferrare l’idea che prima o poi il picco si raggiungerà, sia se si prenderanno misure contenitive o no.

Abbiamo quindi, lasciando perdere i deceduti, tre aree: suscettibili (S), Infetti (I) e guariti (R) con i loro pullman che trasportano un numero certo di persone da un’area all’altra. Ultima ma non per importanza abbiamo la variabile (t) tempo.
Calcoliamo λ che porta da S → I. Il Tempo (t) ci dice che (λ) trasporta persone da S a I cambiando il numero degli individui presenti nelle aree; di conseguenza avrò due valori di S in relazione al tempo che mi stabiliscono la prima equazione

S(t + Δt) = S(t) – (nuovi infetti) 

Fosse tutto qui saremmo contenti, ma in parte lo è!
I nuovi infetti “che sto trasportando” sono il frutto della sottrazione tra lo status iniziale S(t) con la probabilità (α) di ogni individuo di contrarre la malattia (infatti, non siamo sicuri al 100% che ogni incontro frutti degli infetti) ed il calcolo combinatorio n(n-1) / 2. Sì perché se il numero di individui n fosse 4 allora avrei esattamente 4(4-1)/2 combinazioni possibili di passaggio singolo della malattia; come? a,b,c e d. a la passa a b, b la passa a c e c la passa a d ed ho fatto la prima combinazione. La seconda potrebbe essere b la passa a c, c la passa a d e d la passa ad a, e così via….quindi, tenendo buone le combinazioni di contagio (δ) ed (α) come coefficiente di probabilità, ottengo il nostro pulmino (λ), ma attenzione: devo tenere conto anche del tempo trascorso (t + Δt)>0 sempre.
Quindi avendo i seguenti dati:

  • [n(n-1)/2] = δ
  • αδ = λ
  • N = S(t) + I(t) + G(t) = popolazione totale

posso calcolare la derivata prima con pochi passaggi

Unknown-1il risultato finale è <0 e dà informazioni sullo sviluppo della malattia destinato a decrescere per la zona S con la conseguente diminuzione dei suscettibili a favore degli infetti.
Passiamo alla zona I, il ghetto degli infetti che da una parte aumenta grazie al pullman λ che gli porta nuovi malati ma dall’altra diminuisce perché il pullman ϒ trasporta alla zona R i nuovi guariti, pertanto ϒ = R/I ed avremo quindi:

I(t+Δt) = I(t) + nuovi infetti – nuovi guariti * Δt

La situazione nell’aera I è più dinamica. Ai nuovi infetti dati dalla derivata bisogna togliere i nuovi guariti e si evince da se che lo sviluppo della malattia si gioca tutto qui (risparmiandovi i calcoli) in questa equazione:

I’(t) = λS(t) I(t)/N – ϒI(t)
I’ = λI S/N – ϒ I

si vedrà, in base all’andamento della curva Gaussiana, come la malattia e la risposta della popolazione incida sulla campana ad un periodo (t).
Va da sé che l’indice dei contagiati λ col tempo arriverà più prossimo allo 0 se adotteremo delle misure restrittive preventive, mentre l’indice dei guariti (quindi infettati) ϒ dipenderà dallo sviluppo di un eventuale vaccino; comunque vada questo rapporto deve approssimarsi al più presto allo 0 o essere inferiore (il più possibile a 1) per lasciarci alle spalle tale situazione.
Infatti per fotografarne al tempo (t) bisognerebbe sapere se il metodo dell’isolamento adottato ha raggiunto, o sta raggiungendo, lo scopo prefissato ponendo per esempio

λI S/N < ϒI

dove il rapporto delle due misure adottate unito al rapporto in corso d’opera tra suscettibili e totali sia maggiore di 0 ma non di 1.

R0 = λ / ϒ * S/N  < 1

Ovviamente col tempo (anni) S/N → 0 diventando ahimè trascurabile e lascerà solo λ / ϒ ai superstiti con le loro decisioni.

Feynman diceva “meglio chiedersi cosa succederebbe se facessi così piuttosto che chiedersi se farlo o no” e probabilmente, guardando i tempi che stringono, ha ragione, perché riducendo ai minimi termini è nell’intenzione sennata dell’agire che giace il seme della scienza.

 

Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
Schermata 2018-12-06 alle 23.59.08

[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58

spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

#8An – l’importanza delLa Frontiera


se Accumulazione E'

Espressione Canonica:   ∂A ∪ A°c

  • A°: punti interni ad A
  • ∂A: la frontiera di A
  • A°c: punti interni all’insieme complementare Ac

immagino il seguente intervallo A: [0,1]
lo 0 è incluso nell’intervallo e rappresenta non solo il lim.inf. ma anche minimo e minorante, mentre l’1 è lim. sup., massimo e maggiorante 

A°complementare è (-∞,0) ∪ (1,+∞) = Ac

(1/n, n/n+1) è una copertura non adatta perché sostituendo una n arbitrariamente grande l’intervallo (0,1) si allarga sempre più senza raggiungere i punti estremi, quindi per coprirlo dovrei scrivere {0}∪(1/n, n/n+1)∪{1}; posso formare una sottocopertura di n finiti intervalli, per esempio: (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3). In questo modo lo rendo compatto 

è semplice capire che all’aumentare di n la funzione tende a sx a 0 ed a dx ad 1 rendendo le frontiere ∂A dei punti di accumulazione (A’) 

Grazie al teorema di comprensione metrica #An 7 so che un punto di accumulazione è quella bolla di punto p e di raggio r che intersecata con E ha al suo interno (per qualsiasi raggio ε>0) infiniti punti x∈E; inoltre i punti di accumulazione appartengono sempre alla frontiera ∂A che nel nostro caso [0,1] è interna all’intervallo rendendolo Chiuso!

  • La copertura (1/n, n/n+1) è aperta 
  • l’intervallo [0,1] è chiuso
  • la sottocopertura (-1/3,1/3)∪(0,1)∪(2/3,4/3) è di numero limitato
  • ⇒ A è compatto

#An7 Teorema di comprensione metrica


Legenda: 

  • p = punto
  • ∂E = frontiera di E
  • E’ = insieme derivato ovvero insieme dei punti di accumulazione di E 
  • Ec = insieme complementare di E

Qualsiasi insieme E ⊆ X (in R^n) abbiamo che E∪∂E ⇔ E∪E’

dimostriamo per prima ⇒ :

E∪∂E ⇒ E∪E’: dall’enunciato è sicuro che p∈ E, ma se appartenesse ad E e basta non avrebbe senso l’implicazione stessa, quindi  possiamo ipotizzare che ∉ E. questo significa che p∈ ∂E∩E’  

  1. p∉ E, questo significa che sta nella frontiera ∂E
  2. stare nella frontiera ∂E significa due cose: o essere isolato, oppure di accumulazione
  3. essere isolato non porta alla risoluzione quindi
  4. se p∈E’ allora ∃ un punto q≠p t.c q stia all’interno della bolla B(p,r), il che equivale a dire che E∪∂E ⇒ E∪E.

e per seconda:

E∪E’ ⇒ E∪∂E: se so che

  1. p∈E’ 
  2. essere di accumulazione significa stare sulla frontiera sia di E che di Ec t.c ∂E=∂Ec allora
  3. p∂E il che prova E∪E’ ⇒ E∪∂E

Conclusioni

  1. se E∪E’ è chiuso ⇒ Ec aperto
  2. se E∪E’ è aperto ⇒ Ec chiuso

tutto dipende dalla frontiera se è inclusa o no nell’intervallo

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza