Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
Schermata 2018-12-06 alle 23.59.08

[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58
spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#A10-#E Relazioni di Equivalenza


Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:

  1. fℜg è di equivalenza?
  2. se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
  3. trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)

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L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)

Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi 

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  1.  fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:
  •  fℜf  :      f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k            ∀k∈Z   

Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z

  • fℜg = gℜf :       f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)]   che dà                                  ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = g(x) – f(x) 
  • – (1*3) = 3*(-1)  che è sempre divisibile per 3

ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.

  • fℜg e gℜh ⇒ fℜh :      f(x) – g(x)  e  g(x) – h(x) ⇒  f(x) – h(x) =                        ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = 3κ
  • g(x) – h(x) = 3q
  • f(x) – g(x)g(x) – h(x) = 3κ + 3q 
  • f(x) – h(x) = 3(κ+q)   che è sempre divisibile per 3

in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x)  a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.

Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni

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2.   f(x) = x    e    g(x) = x²                          ∀k∈Z

  • fℜf :  f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3      ok
  • fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
  • x – x² = – (x² – x)
  • x – x² = 3κ
  • x = 1,     1 – 1² = 0
  • x = 2,    2 – 2² = 2² – 2 ,       -2 = 2?     che non è divisibile per 3

Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi

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3.   abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:

  • 1 – g(x) = 3κ
  • – g(x) = 3κ – 1
  • g(x) = 1 – 3κ 

trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3

  • f(x) – g(x) = 3κ
  • 11 – 3κ  = 3κ

– 3κ    3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂

#A11 -E2: Induzione Geometrica


un esempio facile di metodo di induzione visto dal punto di vista geometrico.

Si ha il seguente enunciato: Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati equivale a (n-2)*180° angoli piatti. 

Riscriviamo la Proposizione P meglio:

  • P(n) = la somma degli angoli interni di un triangolo di n lati 
  • (n-2)*180 = angoli piatti

quindi abbiamo che P(n) = (n-2)*180 

  1. troviamo se P(0) è vera
    Se pensiamo al quadrato, come poligono di 4 lati e sostituiamo la n col 4 avremo
    (4-2)*180° = 2*180° = 360°
    Stessa cosa col pentagono, n = 5 avremo (5-2)*180 = 540° … ecc quindi banalmente per ogni sostituzione di n P(n) è sempre vera.
  2. Se P(n) vera ⇒ P(n+1) sarà vera?   Ipotesi (I)
  3. Quindi P(n+1) = P(n) + 180°, perché? Perché se aggiungo un lato al poligono iniziale è come se aggiungessi un angolo di 180°   Tesi (T)

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  1. P(n) + 180 = [(n-2) * 180] +180   
  2. {[(n-2)*1]+1}  *180 , ho raccolto il 180 tra le quadre e graffe
  3. ma banalmente [(n-2)*1] +1 = (n-2)+1 e tutta l’espressione [(n-2)+1]  è P(n)+180 = P(n+1) la Tesi (T) 

Il metodo di induzione è un metodo diretto di dimostrazione.

Messaggio Non-Euclideo


Ieri sera stavo seduto sul terrazzino ed all’improvviso ho notato questo triangolo nel cielo e mi sono immaginato se da fuori fosse stato così piano come da “dentro”:

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si noti bene il triangolo nel cielo – foto scattata alle ore 19:22 del 02/08/2018

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Bibliografia: l’equazione di Dio – Amir D.Aczel

La Luna Poetica…


Corriere della Sera

Alain Connes …


Musica e Numeri

Corriere della Sera

 

Dwight Eisenhower …


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Corriere della Sera