#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

Separatore-Grigio.png

Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#3A composizione di Applicazioni


f: X —>Y e g: Y —>Z sono due applicazioni (o funzioni) dove Y coincide per f e g e la composizione, descritta dal simbolo °, si scrive così:

g ° f : X —> Z     per    (g°f)(x) = g(f(x)) per qualsiasi x in X

viene spesso chiamata applicazione prodotto perché è anche valevole in casi riflessivi sullo stesso insieme per cui f°(f°f) = (f°f)°f assume a tutti gli effetti come f^3 per la ovvia proprietà delle potenze.

 

Vediamo casi particolari in cui è valevole l’enunciato precedente f: X —>Y e g: Y —>Z:  

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  •   se g ed f sono suriettive allora anche g°f è suriettiva (a)
  •   se g ed f sono iniettive allora anche g°f è iniettiva (b)

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  • Il primo caso a sinistra abbiamo una funzione f : X —-> Y iniettiva e la sua inversa
    f^-1 = g : Y —-> X suriettiva. ciò è sempre possibile!
  • Nel secondo caso abbiamo un’identità dove la f : X —-> Y iniettiva ha una sua inversa g esattamente come lei. Da qui il particolare che se la f è biettiva (cioè sia suriettiva che iniettiva) allora tutta la funzione può essere invertibile.
  • Il primo caso se la f : X —-> Y è iniettiva allora anche la g°f è iniettiva; dove per ogni x,y appartenente all’insieme X abbiamo una f(x) = f(y) e di conseguenza una g(f(x)) = g(f(y)) = z
  • nel secondo caso se g : Y —-> Z è g(f(x)) ed è suriettiva. Se per ogni z appartenente a Z esiste una x appartenente a X tale che g°f(x)=g(f(x)), allora se f(x) soddisfa tutto l’insieme Y conferma così la suriettività dell’intero circuito perché g°f(x)=g(f(x)).
    Ne è un esempio anche il caso a) sopra illustrato

IMG_5624

  • prendendo come immagine mentale la foto sopraindicata sappiamo che la f(x)=y e la g(y)=x di conseguenza la g°f=id x e la f°g=id y 
  • la g°f = id x da non confondere con la g°f (x) perché altrimenti avremmo 3 insiemi come nei casi precedenti e non 2 
bibliografia
Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra

#1A definizioni Preliminari


Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:

f: X ——> Y

è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti

idx : X ——-> X

applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso

  1. Sia ha Y è una parte non vuota di X

iy : Y ——–> X

immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”

1 bis.  sia f : X —————> Z

f↑y : Y ——–> Z

restrizione di  f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.

G(f) = f : X ——> Y

grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.

Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.

f (x) = f {[x]}

Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f

f ¯¹(y) = y

contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

220px-Inverse_Function

f e la sua inversa

funzione-iniettiva-grafico.jpg

figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y

figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X

P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}

L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò

P (∅) = {∅}

Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo

∃a ∈ X |P(a)

traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}

∀a ∈ X |P(a)

traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)

X ∩ ∅ = ∅                 X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo

Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra