#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉

#A8-#E


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Nel primo esercizio basta notare le analogie che stanno nell’uguaglianza dei due coefficienti per capire che forse è inutile stare a trasformare le permutazioni, quindi bastano pochi passaggi algebrici per capire che la soluzione è più vicina di quanto sembri

Nel secondo esercizio le condizioni di esistenza devono essere x≥4, quindi al primo passaggio sostituiamo la formula base coi valori dei seguenti coefficienti binomiali. Poi permutiamo il 4 al primo denominatore così lo si elimina; sotto permutiamo invece la serie x! per eliminare il (x-4)! sempre al den., mentre al di là dell’uguale facciamo lo stesso con (x-3)!
semplifichiamo algebricamente i fattori comuni, moltiplichiamo lo stesso denominatore *6 così lo possiamo eliminare per trovarci con un semplice passaggio ad x-3=5, x=8 che è ≥4 

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Al primo passaggio attuiamo la sostituazione alla formula madre n! / k!(n-k)!. nb. la seconda freccia verde in alto: sostituzione di k-1 e n-1 alla k di (n-k)! risulta [n-1-(k-1)]! cioè  [n-1-k+1]! quindi (n-k)!

So che (n-k)! = (n-k)(n-1-k)! e sostituisco
so che k! = k(k-1)! e sostituisco

effettuo il denominatore comune al penultimo passaggio e semplificando mi ritrovo la formula iniziale n! / k!(n-k)!
uguaglianza verificata con successo

 

 

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

#6A insieme InFinito


Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica