Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

#3AN Campo Ordinato Completo = R


Un campo è una struttura algebrica con una costante e due operazioni: (k,*,+)     ∀k∈K

che rispetta le seguenti proprietà: Associativa, Commutativa, Distributiva, Elemento Neutro. Un esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali Q.

Ordinato perché possiede una relazione “<” che soddisfa le seguenti proprietà: 

Transitiva – se a<b e b<c ⇒ a<c    ∀a,b,c ∈ K,     ne segue che l’elemento neutro per la moltiplicazione “c>0∈N” non ne cambia la l’ordine

Se a≠b ⇒ a<b ∨ b<a

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Completo perché assume il teorema di completezza: se A⊂R (A• assunto come l’insieme dei maggioranti di R) Superiormente Limitato allora A• ha un minimo. Viceversa se (A∝ assunto come l’insieme dei minoranti di R) Inferiormente Limitato allora A∝ ha una massimo.

Dimostrazione:

  • Sia A⊂R, A sup lim: A•={x∈R :x≥a, ∀a∈A} ≠ ∅            (definizione dell’insieme dei maggioranti come non vuoto)
  • scelgo il minimo dei maggioranti di A• scegliendo la minima cifra tra 0 e 9 delle varie parti di cui è composto il numero: β = c0,c1 c2 c3 c4 c5 … ck-1, ck, xk+1,xk+2 ..
  • Prendo un’ipotetico numero σ = c0,c1 c2 c3 c4 c5 …ck……
  • confronto β e σ: se σ possiede una cifra a ck-1 = 9 allora per il teorema dei resti avremo un numero 9 periodico che ∉R in quanto ck-1,ck,xk+1,xk+2 ecc saranno 9 anche loro.
  • Per assurdo assumo che σ A• allora esiste un numero ϒ>σ t.c. la k-esima cifra di ϒk>ck, ma allora σ>β!! e non ho scelto il minimo elemento dell’insieme dei maggioranti!
  • quindi σ=β oppure le loro k-esime cifre sono ck<bk t.c. σ≤β
  • lo stesso procedimento è possibile affrontarlo con l’insieme dei minoranti

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esempio

dimostrare che 1 è estremo superiore di A={∀n∈Q : (n-1)/n ≤1} o SupA=1

Sapendo che avere un estremo superiore vuol dire ammettere dei maggioranti; in questo caso da enunciato è esplicito che l’1 è il minimo dei maggioranti, ma per dimostrarlo vado per gradi.

Come prima domanda qual è la tesi dell’enunciato?

  • (n-1)/n ≤1 oppure SupA = 1

Se per ogni n appartenente a Q che sostituisco mi dà la disuguaglianza (n-1)/n≤1 allora 1 è il mio estremo superiore. E per dimostrarlo nego la tesi P.A. (per assurdo) dicendo che 1 non è SupA, quindi che Esiste un numero ε>0 che sottratto a 1 mi dà un’estremo superiore magari > (n-1)/n della seguente disuguaglianza:

1-ε   <(n-1)/n   ≤1

invece dopo opportuni calcoli mi risulta n>1/ε il che è sempre vero sempre perché stiamo all’interno dell’insieme Q dei razionali e conseguentemente

1/ε  <n  ≤1

1-ε è quell’elemento supposto massimo all’interno dell’insieme A e che sarà sempre minore di (n-1)/n per qualsiasi ε>0 io prenda. in altre parole avrò sempre un elemento massimo tra 1-ε ed 1 cioè (n-1)/n.

è il minore dei maggioranti? Sì perché se porto l’1 dentro all’insieme A: (n-1/n) – 1≤0 ottengo -1/n ≤0 sempre vero. Per quanto mi possa avvicinare ad 1 al massimo raggiungerò (n-1)/n per ogni n∈N.

#E3 – #A10: P(n-1)+ è la stessa cosa + P(n+1)


Qui sono esemplificati i due metodi induttivi (induzione ed induzione forte) 

  • (A): P(n-1)+P(n) = P(n)
  • (B): P(n) + P(n+1) = P(n+1)
  • grigio + verde = Ipotesi = Tesi

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Messaggio Non-Euclideo


Ieri sera stavo seduto sul terrazzino ed all’improvviso ho notato questo triangolo nel cielo e mi sono immaginato se da fuori fosse stato così piano come da “dentro”:

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si noti bene il triangolo nel cielo – foto scattata alle ore 19:22 del 02/08/2018

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Bibliografia: l’equazione di Dio – Amir D.Aczel


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Corriere della Sera

 

Dwight Eisenhower …


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Corriere della Sera

Ci vogliono 20 minuti ….

La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità


Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

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Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A

#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

Separatore-Grigio

Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia