#6a insieme InFinito

Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica

Gauss l’artista

Carl Friedrich Gauss, uno dei principi della matematica lo reputo un vero artista, un regista, più che un pittore visti alcuni suoi ritratti, che faceva letteralmente recitare i numeri come voleva. Le serie ed il primo concetto di limite di una serie numerica lo dobbiamo soprattutto a lui.
Il problema che pose il suo maestro alla classe lui lo risolse in 5 minuti con un calcolo geniale; se sia una versione verosimile noi non possiamo saperlo, ma l’intuizione nel trovare una via alternativa è qui generalizzata ed ogni volta che la vedo mi vengono in mente le parole di Martha Medeiros “lentamente muore chi non capovolge il tavolo”

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Nel suo caso specifico era da risolvere la somma dei numeri che vanno da 1 a 100. Lui la ribaltò e vide che nel primo passaggio risultava la somma per ben 100 volte dello stesso numero: 101. Da lì i passaggi seguenti sono ovvi.

Ecco perché 1+2+3+….+n=Sn.
Entrare nella logica, cioè nel logos, significa abitare le stanze della comprensione.
Esempio questo usato anche per dimostrare il metodo di induzione.

nb. Sn sta per Sommatoria Numerica e non Serie.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

 

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