#6AN da distanza Triangolare a Cauchy-Schwartz’s Inequality


La diseguaglianza triangolare dice che la somma dei due cateti sarà sempre maggiore o al massimo uguale all’ipotenusa. in R

||x+y||  ≤ ||x||+||y|| 

la norma (la distanza) dell’addizione ≤ l’addizione delle norme (le distanze)

anche nel campo complesso C

|z1+z2| ≤ |z1|+|z2|

La condizione di Cauchy-Schwartz è una diseguaglianza che assomiglia formalmente alla triangolare ma non nel significato perché all’interno dobbiamo considerare il prodotto scalare tra vettori (non prodotto vettoriale!!!) ed il coseno dell’angolo compreso. Tutto questo per far capire che dobbiamo immaginare la distanza un poco meno del prodotto scalare dei due vettori e ruotata dell’angolo tra loro

detto questo come si dimostra che l’espressione qui sotto è vera per a e b vettori?

ab ≤ |a||b|cosα

|ab| = ||a||b|cosα|    elevo a modulo sia a dx che sx 

ora so che |cosα| prende solo valori positivi tra 0<x<1 esattamente tra 0<x<π/2 e 3/2<x<2π
e moltiplicando per un valore che oscilla tra 0 ed 1 vuol dire al massimo ottenere

ab  = |a||b|cosα         oppure          ab  <  |a||b|

#E4 cAmpo ComplessO 1


  1. A= {x∈C : Re(z)>0}
  2. B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
  3. C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
  4. D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
  5. E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}

Soluzione

A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y

schermata-2018-10-29-alle-16-45-46.png

B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.

Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1

So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:

schermata-2018-10-29-alle-17-09-26.png

C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.

u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo

x-iy/x²+y² = w

ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:

  • moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
  • porto di là il (D): y>x²+y²
  • porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
  • aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
  • i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1

Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni

schermata-2018-10-29-alle-18-08-21.png

D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.

Risolvo Re z-(1/z)>0:

  • Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
  • da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
  • raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)

dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:

D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

Schermata 2018-10-29 alle 18.30.44

l’enunciato prende solo i punti interni in verde della circonferenza escludendo 1 come raggio e l’asse immaginaria y

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.

Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario

schermata-2018-10-29-alle-18-44-53-e1540835185501.png

Prendere solo i punti che stanno al di sotto della retta passante per l’origine ed iscritti nella circonferenza