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Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En =(1+1/n)^n sia crescente, decrescente e limitata superiormente per n→ +∞ in R²

  1. Crescente Dimostrazione diretta: En-1< En  ⇒  (En/ En-1) >1

Unknown-2

Perché è strettamente crescente? Consiglio, in generale, prima di partire con qualsiasi dimostrazione di sostituite un valore alla variabile n così da vedere la En (chiamiamola scorrettamente ƒ(x)) crescere (o decrescere) a seconda dei casi.

“tutto dipende da come si guardano le cose”

Unknown-3

Se En/ En-1 >1 allora En/En-1 è vera e decresce all’aumentare di n, quindi ad L non lo calcolerò mai se non estendo un raggio ε>0 in modo da avere L-ε ≤ En0 ≤ En < L per ogni no<n. 
In un certo senso mi avvicino al limite tramite il calcolo del rapporto se questo rapporto è superiore ad 1 come da tesi.
Sembra quasi fuorviante fare un ragionamento inverso (Se En/ En-1 >1 allora En/En-1) per poi nei calcoli dimostrarlo direttamente, quindi si potrebbe fare anche direttamente (se En/En-1 alloraEn/ En-1 >1)? No. Verrebbe meno il significato di limite come concetto topologico, perché dovrei ipotizzare En come limite di En-1 vista la disuguaglianza stretta < e prendere comunque un ε>0 che mi parta da En come da L…in pratica è come dire che la serie successiva (che ha un suo andamento preciso) è il limite di quella precedente…non sense!

P.Assurdo invece avrei dovuto negare la tesi in questo modo: En/ En-1 <1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 con la conseguente ipotesi En-1 < En falsa!
Infine condizione necessaria affinché En+1 < En è che En/ En-1 >1, mentre invece è sufficiente che En/ En-1 >1 per sapere che En-1 < En

Ultimo accenno alla disuguaglianza di Jacob Bernoulli (1+ En)^n > 1 + nEn sempre vera.
Essa è un po’ la prova del nove sul fatto che 1 meno qualcosa di piccolo > di 1 meno qualcosa di più grande, quasi quanto arrivare, come in questo caso, allo 0.

Bibliografia:
Analisi Matematica – Paolo Maurizio Soardi

#A10-#E Relazioni di Equivalenza

Simone Lascia un commento

Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:

  1. fℜg è di equivalenza?
  2. se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
  3. trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)

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L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)

Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi 

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  1.  fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:
  •  fℜf  :      f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k            ∀k∈Z   

Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z

  • fℜg = gℜf :       f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)]   che dà                                  ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = g(x) – f(x) 
  • – (1*3) = 3*(-1)  che è sempre divisibile per 3

ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.

  • fℜg e gℜh ⇒ fℜh :      f(x) – g(x)  e  g(x) – h(x) ⇒  f(x) – h(x) =                        ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = 3κ
  • g(x) – h(x) = 3q
  • f(x) – g(x) + g(x) – h(x) = 3κ + 3q 
  • f(x) – h(x) = 3(κ+q)   che è sempre divisibile per 3

in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x)  a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.

Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni

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2.   f(x) = x    e    g(x) = x²                          ∀k∈Z

  • fℜf :  f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3      ok
  • fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
  • x – x² = – (x² – x)
  • x – x² = 3κ
  • x = 1,     1 – 1² = 0
  • x = 2,    2 – 2² = 2² – 2 ,       -2 = 2?     che non è divisibile per 3

Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi

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3.   abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:

  • 1 – g(x) = 3κ
  • – g(x) = 3κ – 1
  • g(x) = 1 – 3κ 

trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3

  • f(x) – g(x) = 3κ
  • 1 – 1 – 3κ  = 3κ

– 3κ  ≠  3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂

#A11 -E2: Induzione Geometrica

Simone Lascia un commento

un esempio facile di metodo di induzione visto dal punto di vista geometrico.

Si ha il seguente enunciato: Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati equivale a (n-2)*180° angoli piatti. 

Riscriviamo la Proposizione P meglio:

  • P(n) = la somma degli angoli interni di un triangolo di n lati 
  • (n-2)*180 = angoli piatti

quindi abbiamo che P(n) = (n-2)*180 

  1. troviamo se P(0) è vera
    Se pensiamo al quadrato, come poligono di 4 lati e sostituiamo la n col 4 avremo
    (4-2)*180° = 2*180° = 360°
    Stessa cosa col pentagono, n = 5 avremo (5-2)*180 = 540° … ecc quindi banalmente per ogni sostituzione di n P(n) è sempre vera.
  2. Se P(n) vera ⇒ P(n+1) sarà vera?   Ipotesi (I)
  3. Quindi P(n+1) = P(n) + 180°, perché? Perché se aggiungo un lato al poligono iniziale è come se aggiungessi un angolo di 180°   Tesi (T)

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  1. P(n) + 180 = [(n-2) * 180] +180   
  2. {[(n-2)*1]+1}  *180 , ho raccolto il 180 tra le quadre e graffe
  3. ma banalmente [(n-2)*1] +1 = (n-2)+1 e tutta l’espressione [(n-2)+1]  è P(n)+180 = P(n+1) la Tesi (T) 

Il metodo di induzione è un metodo diretto di dimostrazione.

Trasparenza Dimostrativa

Simone 1 commento

Prendiamo la frase: il virus è un endoparassita che sfrutta la cellula
Ci sono due proposizioni all’interno:

  • il virus è un endoparassita
  • il virus sfrutta la cellula

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ⇒ ha la proprietà T
    Se il virus è un endoparassita allora sfrutta la cellula
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T ⇒ ha la proprietà I
    Se il virus sfrutta la cellula allora è un endoparassita
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ ha la proprietà I ⇒ ¬ ha la proprietà T
    Se il virus non è un endoparassita allora non sfrutta la cellula 
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T ⇒ ¬ ha laproprietà I
    Se il virus non sfrutta la cellula allora non è un endoparassita

Prima di parlare di dimostrazioni va fatta una distinzione circa la forma ed il suo significato. Le casistiche sopracitate si riferiscono puramente alla struttura delle quattro frasi possibili espresse e sebbene i loro significati scambiati di posizione abbiano comunque un senso, ciò non comportano le rispettive veridicità ai fini dimostrativi.
Pertanto, a seconda del campo in cui ci troviamo ed anche di fronte ad una affermazione palesemente insensata, finché non ci viene fornito almeno uno ed un solo elemento che confuti l’enunciato, tale dimostrazione si conferma valida ai fini logici.

Detto questo possiamo già asserire che le frasi son tutte vere ed hanno una loro logica.
Nelle materie scientifiche di norma si adottano tre tipi di dimostrazioni: la diretta (1) e l’indiretta o diretta contraria (3) sono le più semplici ma anche le meno usate, mentre quella Per Assurdo è la più accattivante, dove anche se spesso risulta nel processo fuorviante, rimane tutt’ora quella più usata sopratutto per tutta la branca astratta in cui si conferma un dato non perché esista ma perché il contrario sarebbe semplicemente illogico.

  • PA:  Se il soggetto ¬ ha la proprietà T ⇒  ha la proprietà I ??
    Il virus non sfrutta la cellula allora è un endoparassita ??
    Detta dimostrazione per assurdo, dove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi per arrivare ad una ipotesi falsa!

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Mind the gap!
Per Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano sono opposte.

il virus è un endoparassita.     il virus non sfrutta la cellula allora non è un endoparassita (contronominale) vera

il virus è un endoparassita.    il virus non sfrutta la cellula allora è un endoparassita ….. è assurda! falsa

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini: sufficiente e necessario.

  • condizione necessaria affinché un virus sia endoparassita è che sfrutti la cellula
  • condizione sufficiente affinché un virus sfrutti la cellula è che sia un endoparassita

Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En = (1+1/n)^n dia come limite per n→ ∞  di En = e

Unknown-1

In maniera discorsiva, nella dimostrazione devo arrivare a confermare dall’ipotesi vera di En < En+1  la veridicità della tesi En+1/ En >1.
Quindi se so che il limite superiore di En = e, per n che tende all’infinito, è un elemento che sta fuori dalla mia serie En, che tende a dx verso L in quanto non maggiorante(che sta fuori) e so che, per un intervallo arbitrario ε>0 che tolgo da L (L- ε) verso sx avrò sempre per ogni n0≤n (o n≤n+1) una serie En < En+1che mi si avvicina sempre più ad L 

allora

Avrò in questo caso!! il rapporto del successivo sul precedente En+1/ En sarà sempre >1 e lo dobbiamo anche grazie a uno dei fratelli Bernoulli ed ad una sua importante disuguaglianza 

P.Assurdo è palese in quanto avrei dovuto negare la tesi En+1/ En >1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 !?! L’ipotesi quindi En < En+1 sarebbe risultata falsa!
Infine condizione necessaria affinché En < En+1 è che En+1/ En >1, mentre invece è sufficiente che En+1/ En >1 per sapere che En < En+1.