#A10-#E Relazioni di Equivalenza

Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:

  1. fℜg è di equivalenza?
  2. se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
  3. trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)

sole-luna.jpg

L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)

Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi 

IMG_20180829_225532

  1.  fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:
  •  fℜf  :      f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k            ∀k∈Z   

Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z

  • fℜg = gℜf :       f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)]   che dà                                  ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = g(x) – f(x) 
  • – (1*3) = 3*(-1)  che è sempre divisibile per 3

ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.

  • fℜg e gℜh ⇒ fℜh :      f(x) – g(x)  e  g(x) – h(x) ⇒  f(x) – h(x) =                        ∀k∈Z
  • f(x) – g(x) = 3κ
  • g(x) – h(x) = 3q
  • f(x) – g(x)g(x) – h(x) = 3κ + 3q 
  • f(x) – h(x) = 3(κ+q)   che è sempre divisibile per 3

in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x)  a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.

Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni

cropped-dali2.jpg

2.   f(x) = x    e    g(x) = x²                          ∀k∈Z

  • fℜf :  f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3      ok
  • fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
  • x – x² = – (x² – x)
  • x – x² = 3κ
  • x = 1,     1 – 1² = 0
  • x = 2,    2 – 2² = 2² – 2 ,       -2 = 2?     che non è divisibile per 3

Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi

sole-luna.jpg

3.   abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:

  • 1 – g(x) = 3κ
  • – g(x) = 3κ – 1
  • g(x) = 1 – 3κ 

trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3

  • f(x) – g(x) = 3κ
  • 11 – 3κ  = 3κ

– 3κ    3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂

#A11 -E2: Induzione Geometrica

un esempio facile di metodo di induzione visto dal punto di vista geometrico.

Si ha il seguente enunciato: Dimostrare che la somma degli angoli interni di un poligono di n lati equivale a (n-2)*180° angoli piatti. 

Riscriviamo la Proposizione P meglio:

  • P(n) = la somma degli angoli interni di un triangolo di n lati 
  • (n-2)*180 = angoli piatti

quindi abbiamo che P(n) = (n-2)*180 

  1. troviamo se P(0) è vera
    Se pensiamo al quadrato, come poligono di 4 lati e sostituiamo la n col 4 avremo
    (4-2)*180° = 2*180° = 360°
    Stessa cosa col pentagono, n = 5 avremo (5-2)*180 = 540° … ecc quindi banalmente per ogni sostituzione di n P(n) è sempre vera.
  2. Se P(n) vera ⇒ P(n+1) sarà vera?   Ipotesi (I)
  3. Quindi P(n+1) = P(n) + 180°, perché? Perché se aggiungo un lato al poligono iniziale è come se aggiungessi un angolo di 180°   Tesi (T)

img_20180922_201417.jpg

  1. P(n) + 180 = [(n-2) * 180] +180   
  2. {[(n-2)*1]+1}  *180 , ho raccolto il 180 tra le quadre e graffe
  3. ma banalmente [(n-2)*1] +1 = (n-2)+1 e tutta l’espressione [(n-2)+1]  è P(n)+180 = P(n+1) la Tesi (T) 

Il metodo di induzione è un metodo diretto di dimostrazione.

Moda-Creative thinking

Creative thinking

Nepero

storie di teoremi reietti tra pensiero, spazio-tempo e natura

The Art of Blogging

For bloggers who aspire to inspire

Paolo Sassaroli

Entra nel mondo delle pseudo favole di Paolo Sassaroli

ilripassinodimatematica

navigando tra le nuvole del pensiero matematico

Enterprises...

..."alla ricerca di nuove forme di vita e di civiltà, fino ad arrivare là dove nessuno è mai giunto prima"

AstronomicaMens

Le idee degli scienziati sull'Universo

Emozioni: idee del cuore

Raccontare le emozioni, attraverso il battito del cuore, perché la felicità è nascosta ma se troviamo la bussola scopriamo la strada giusta

OggiScienza

La ricerca e i suoi protagonisti

"Matematicandoinsieme" di Maria Cristina Sbarbati

La fantasia è più importante del sapere!

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: