Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En =(1+1/n)^n sia crescente, decrescente e limitata superiormente per n→ +∞ in R²
- Crescente Dimostrazione diretta: En-1< En ⇒ (En/ En-1) >1
Perché è strettamente crescente? Consiglio, in generale, prima di partire con qualsiasi dimostrazione di sostituite un valore alla variabile n così da vedere la En (chiamiamola scorrettamente ƒ(x)) crescere (o decrescere) a seconda dei casi.
“tutto dipende da come si guardano le cose”
Se En/ En-1 >1 allora En/En-1 è vera e decresce all’aumentare di n, quindi ad L non lo calcolerò mai se non estendo un raggio ε>0 in modo da avere L-ε ≤ En0 ≤ En < L per ogni no<n.
In un certo senso mi avvicino al limite tramite il calcolo del rapporto se questo rapporto è superiore ad 1 come da tesi.
Sembra quasi fuorviante fare un ragionamento inverso (Se En/ En-1 >1 allora En/En-1) per poi nei calcoli dimostrarlo direttamente, quindi si potrebbe fare anche direttamente (se En/En-1 alloraEn/ En-1 >1)? No. Verrebbe meno il significato di limite come concetto topologico, perché dovrei ipotizzare En come limite di En-1 vista la disuguaglianza stretta < e prendere comunque un ε>0 che mi parta da En come da L…in pratica è come dire che la serie successiva (che ha un suo andamento preciso) è il limite di quella precedente…non sense!
P.Assurdo invece avrei dovuto negare la tesi in questo modo: En/ En-1 <1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa <1 con la conseguente ipotesi En-1 < En falsa!
Infine condizione necessaria affinché En+1 < En è che En/ En-1 >1, mentre invece è sufficiente che En/ En-1 >1 per sapere che En-1 < En
Ultimo accenno alla disuguaglianza di Jacob Bernoulli (1+ En)^n > 1 + nEn sempre vera.
Essa è un po’ la prova del nove sul fatto che 1 meno qualcosa di piccolo > di 1 meno qualcosa di più grande, quasi quanto arrivare, come in questo caso, allo 0.
Bibliografia:
Analisi Matematica – Paolo Maurizio Soardi
