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#14A Teorema di Hartogs

Simone 1 commento

Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

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Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine ≤ e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica

Simone Lascia un commento

Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#1A definizioni Preliminari

Simone 4 commenti

Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:

f: X ——> Y

è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti

idx : X ——-> X

applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso

  1. Sia ha Y è una parte non vuota di X

iy : Y ——–> X

immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”

1 bis.  sia f : X —————> Z

f↑y : Y ——–> Z

restrizione di  f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.

G(f) = f : X ——> Y

grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.

Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.

f (x) = f {[x]}

Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f

f ¯¹(y) = y

contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

220px-Inverse_Function

f e la sua inversa

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figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y

figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X

P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}

L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò

P (∅) = {∅}

Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo

∃a ∈ X |P(a)

traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}

∀a ∈ X |P(a)

traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)

X ∩ ∅ = ∅                 X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo

Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra