#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#5A assiomi: Estensionalità, Astrazione, Comprensione, Peano e tavole della Verità


Estensionalità
Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi

Astrazione
Data una proprietà definita P esiste una classe in cui gli elementi sono oggetti x che verificano P

Tale classe è unica e si scrive {x : P(x)}, quindi a ∈ {x : P(x)} ⇔ P(x) vale.
Bertrand Russell ha dato una definizione di classe per la quale non sarebbe contemporaneamente un’insieme. Per definizione la cosiddetta “classe di Russell” viene definita così: {x : x ∉ x}. Per evitare fraintendimenti dobbiamo prima definire la differenza che intercorre tra classe ed insieme.

Gli assiomi fin qui predispongono per astrazione un insieme universo V dove son presenti tutte le diciture finora prese in considerazione quali “elementi”, “insiemi”, classi” ecc. Partendo dal presupposto che sono i predicati P ad ordinare il linguaggio in base alla funzione, un insieme è una classe che appartiene ad almeno un’altra classe, la quale se non appartenesse ad un’insieme verrebbe chiamata classe propria.

Comprensione
Dato un insieme A ed una proprietà P definiamo  {x ∈ A : P(x)} la classe, ovvero quegli elementi x di A che soddisfano il predicato

Una sottoclasse di un insieme è un’insieme, per esempio prendiamo l’insieme B ed una proprietà P; la sua classe è definita così  {x ∈ B : P(x)} e la sua sottoclasse come
{x: x ∈ A ∧ P(x)}. Data l’inclusione della sottoclasse la dicitura {x ∈ B : P(x)} viene comunemente chiamata insieme.


  1. 0 ∈ N
  2. n ∈ N | s(n) ∈ N           ∀ n ∈ N
  3. s(n) ≠ 0                           ∀ n ∈ N
  4. s(n) ≠ s(m) ⇒ n ≠ m   ∀ n ∈ N
  5. E ⊆ N | 0 ∈ N        ∧      ∀ n ∈ E ∃ n ∈ N | E=N

Partendo dal principio asseriamo che Peano con i seguenti assiomi indimostrabili categorizza e classifica i numeri naturali ≥ 0 (N+) detti anche interi non negativi.

  1. Per (a) come elemento di un sottoinsieme E ⊆ N attribuiamo il valore a = 0 
  2. per ogni numero che appartiene ai numeri naturali esiste un suo successivo codificato come s(n)
  3. a non e successivo di nessun numero naturale
  4. diversi i successivi, diversi i numeri da cui provengono
  5. se una funzione f è attuabile ad a = 0 così come al successore (es 1) allora è attuabile a qualsiasi numero naturale

il punto n5 è formalmente il principio di induzione.
Tale principio ha dimostrato coerentemente proprietà molto importanti dell’aritmetica per la somma (+) ed il prodotto (*) quali

  • commutativa  (a+0=0+a, a*1=1*a)
  • associativa [a+(b+c)] = [(a+b)+c], a*(b*c)=(a*b)*c
  • distributiva (del prodotto rispetto la somma, a*(b+c) = (a+b)*(a+c)
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dove S sta per “successore” questa è l’immagine della dimostrazione della proprietà commutativa dell’addizione usando le applicazioni composte dove s^n(m) = n+m

 


Dati gli insiemi X, Y, Z stabiliamo le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due o tre insiemi contemporaneamente, quindi affermiamo V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è.
Congiuntamente prendiamo dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o) che rispecchiano, anche morfologicamente, i segni di intersezione (∩) ed unione (∪) che si usano normalmente nei casi in cui bisogna dimostrare se un elemento è presente o meno in un gruppo di insiemi. Esempio:

(A∩B)∪C = (A∪C) ∩ (B∪C) è un’uguaglianza vera?

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caso particolare: abbiamo una tautologia quando accade un’ipotesi premessa che fa avverare la tesi, quindi risulta sempre vera, per esempio:

se mangio allora ingrasso

P = mangio
I = ingrasso

mangio allora ingrasso = (P⇒I)

=

[P∧(P⇒I)⇒I] = [mangio e (se mangio allora ingrasso) allora ingrasso]

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#1A definizioni Preliminari


Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:

f: X ——> Y

è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti

idx : X ——-> X

applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso

  1. Sia ha Y è una parte non vuota di X

iy : Y ——–> X

immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”

1 bis.  sia f : X —————> Z

f↑y : Y ——–> Z

restrizione di  f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.

G(f) = f : X ——> Y

grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.

Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.

f (x) = f {[x]}

Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f

f ¯¹(y) = y

contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

220px-Inverse_Function

f e la sua inversa

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figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y

figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X

P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}

L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò

P (∅) = {∅}

Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo

∃a ∈ X |P(a)

traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}

∀a ∈ X |P(a)

traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)

X ∩ ∅ = ∅                 X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo

Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra

Criteri feat Congruenze


Contro qualcosa di insormontabile la matematica ci può dare una forte mano a comprendere ciò che abbiamo davanti, generalizzando in dinamiche che vanno ben oltre al caso particolare.

Con criterio di divisibilità io separo e trascelgo che per arrivare ad un risultato ho bisogno di un metodo il più possibile ordinato, efficace e che vada bene per ogni situazione. E’ un primo passo verso l’astrazione, ma se risponde alla domanda giusta diventa decisivo anche ai fini risolutivi.
Dobbiamo avere chiari due concetti prima di procedere: congruenza e notazione scientifica.
Ogni numero può essere scritto in notazione scientifica decimale: 2.750 = 2(10^3)+ 7(10^2)+5(10) ed ogni coppia di numeri possono essere congrui modulo x: 12 (mod5) e 22 (mod5) danno resto 2 (12:5=2 resto 2, 22:5=4 resto 2).
Perché sono importanti questi argomenti?
Nella vita può capitarmi un piccolo problema come dividere 25; ma se mi capitasse 3.162.819?
Il nostro numero non è altro che la sommatoria di più cifre scritta in notazione scientifica nella base più comoda e che tutti conosciamo: base 10

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Ad un tratto arriva il professore, la brutta notizia, l’imprevisto e ti mette nei guai  chiedendo “bene: dividimelo per 11!”
Qui entrano in sinergia, con la notazione scientifica, le proprietà della congruenza che non differiscono dalle leggi aritmetiche:

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il prodotto dei resti segue le leggi aritmetiche: 1*-1=-1 ed -1*-1=1

Il segno alternato della congruenza dà un importante spunto sul metodo da esplorare  con le cifre del nostro numero; infatti se eseguo la sommatoria delle congruenze ed ottengo sempre 0, allora, rifacendo tale procedimento con le cifre del mio numero e tralasciando l’ordine di grandezza (10^n), dovrei ottenere un risultato che diviso per 11 mi dà 0!
Vediamo: (-1*3) + (+1* 1) + (-1*6) + (+1*2) + (-1*8) + (+1*1) + (-1*9) = – 22 / 11 = – 2
resto 0

Osservazioni:
Sapere un criterio di divisibilità significa studiare a priori ciò che abbiamo davanti prima ancora di approcciarci ad esso, osservando e capendone le caratteristiche; citando una celebre frase di Omero che diceva “Niente è bello sotto tutti i punti di vista”, possiamo, in questo caso, vedere tale numero acquisire importanza se visto come sommatoria numerica e non come ordine di grandezza, consapevoli del fatto che la mente associa per sua natura ed abitudine.

In conclusione grazie alle congruenze in base 10 troviamo il criterio di divisibilità di qualsiasi numero. I resti che si ripetono ciclicamente, es. +1-3+2+1-3+2+1-3+2 ecc. saranno i coefficienti da moltiplicare all’ordine di grandezza del numero da dividere.

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ma sappiate che questa è solo una delle tante strade percorribili … 😉

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA