#9a principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica

Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

Separatore-Grigio.png

Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

Separatore-Grigio.png

Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

img_5690.jpg

va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

img_5688.jpg

Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

#5a assiomi: Estensionalità, Astrazione, Comprensione, Peano e tavole della Verità

Estensionalità
Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi

Astrazione
Data una proprietà definita P esiste una classe in cui gli elementi sono oggetti x che verificano P

Tale classe è unica e si scrive {x : P(x)}, quindi a ∈ {x : P(x)} ⇔ P(x) vale.
Bertrand Russell ha dato una definizione di classe per la quale non sarebbe contemporaneamente un’insieme. Per definizione la cosiddetta “classe di Russell” viene definita così: {x : x ∉ x}. Per evitare fraintendimenti dobbiamo prima definire la differenza che intercorre tra classe ed insieme.

Gli assiomi fin qui predispongono per astrazione un insieme universo V dove son presenti tutte le diciture finora prese in considerazione quali “elementi”, “insiemi”, classi” ecc. Partendo dal presupposto che sono i predicati P ad ordinare il linguaggio in base alla funzione, un insieme è una classe che appartiene ad almeno un’altra classe, la quale se non appartenesse ad un’insieme verrebbe chiamata classe propria.

Comprensione
Dato un insieme A ed una proprietà P definiamo  {x ∈ A : P(x)} la classe, ovvero quegli elementi x di A che soddisfano il predicato

Una sottoclasse di un insieme è un’insieme, per esempio prendiamo l’insieme B ed una proprietà P; la sua classe è definita così  {x ∈ B : P(x)} e la sua sottoclasse come
{x: x ∈ A ∧ P(x)}. Data l’inclusione della sottoclasse la dicitura {x ∈ B : P(x)} viene comunemente chiamata insieme.


  1. 0 ∈ N
  2. n ∈ N | s(n) ∈ N           ∀ n ∈ N
  3. s(n) ≠ 0                           ∀ n ∈ N
  4. s(n) ≠ s(m) ⇒ n ≠ m   ∀ n ∈ N
  5. E ⊆ N | 0 ∈ N        ∧      ∀ n ∈ E ∃ n ∈ N | E=N

Partendo dal principio asseriamo che Peano con i seguenti assiomi indimostrabili categorizza e classifica i numeri naturali ≥ 0 (N+) detti anche interi non negativi.

  1. Per (a) come elemento di un sottoinsieme E ⊆ N attribuiamo il valore a = 0 
  2. per ogni numero che appartiene ai numeri naturali esiste un suo successivo codificato come s(n)
  3. a non e successivo di nessun numero naturale
  4. diversi i successivi, diversi i numeri da cui provengono
  5. se una funzione f è attuabile ad a = 0 così come al successore (es 1) allora è attuabile a qualsiasi numero naturale

il punto n5 è formalmente il principio di induzione.
Tale principio ha dimostrato coerentemente proprietà molto importanti dell’aritmetica per la somma (+) ed il prodotto (*) quali

  • commutativa  (a+0=0+a, a*1=1*a)
  • associativa [a+(b+c)] = [(a+b)+c], a*(b*c)=(a*b)*c
  • distributiva (del prodotto rispetto la somma, a*(b+c) = (a+b)*(a+c)
img_5622.jpg

dove S sta per “successore” questa è l’immagine della dimostrazione della proprietà commutativa dell’addizione usando le applicazioni composte dove s^n(m) = n+m

 


Dati gli insiemi X, Y, Z stabiliamo le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due o tre insiemi contemporaneamente, quindi affermiamo V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è.
Congiuntamente prendiamo dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o) che rispecchiano, anche morfologicamente, i segni di intersezione (∩) ed unione (∪) che si usano normalmente nei casi in cui bisogna dimostrare se un elemento è presente o meno in un gruppo di insiemi. Esempio:

(A∩B)∪C = (A∪C) ∩ (B∪C) è un’uguaglianza vera?

IMG_5623

caso particolare: abbiamo una tautologia quando accade un’ipotesi premessa che fa avverare la tesi, quindi risulta sempre vera, per esempio:

se mangio allora ingrasso

P = mangio
I = ingrasso

mangio allora ingrasso = (P⇒I)

=

[P∧(P⇒I)⇒I] = [mangio e (se mangio allora ingrasso) allora ingrasso]

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

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