Covid – 19: modello contagioso


Provo a fare chiarezza più discorsiva con il modello matematico SIR già visto in questi giorni ma non forse ben recepito. Parto dalla fine: cos’è R0? è l’indice di infettività che ha ogni malattia ed è una “stima” composta dal rapporto tra λ e ϒ, due costanti che ci indicano gli infetti sui guariti

R0 = λ / ϒ

Ora si ratta solo di andare a scoprire queste due costanti da cosa sono date e che informazioni ci comunicano.

Immaginatele dei vettori che come dei pullman portano gente da un’area all’altra: abbiamo quindi λ che porta le persone suscettibili (non sane) facendole scendere nell’area infetti I e ϒ che trasporta gli infetti fino alla zona di guarigione R.
Va da sé capire che sono strettamente correlate fra loro perché in un’arco di tempo più o meno lungo, si passerà da 1/100 a 50/50 fino a 100/1 dove tutti saranno contagiati e/o guariti, situazione utopica, per afferrare l’idea che prima o poi il picco si raggiungerà, sia se si prenderanno misure contenitive o no.

Abbiamo quindi, lasciando perdere i deceduti, tre aree: suscettibili (S), Infetti (I) e guariti (R) con i loro pullman che trasportano un numero certo di persone da un’area all’altra. Ultima ma non per importanza abbiamo la variabile (t) tempo.
Calcoliamo λ che porta da S → I. Il Tempo (t) ci dice che (λ) trasporta persone da S a I cambiando il numero degli individui presenti nelle aree; di conseguenza avrò due valori di S in relazione al tempo che mi stabiliscono la prima equazione

S(t + Δt) = S(t) – (nuovi infetti) 

Fosse tutto qui saremmo contenti, ma in parte lo è!
I nuovi infetti “che sto trasportando” sono il frutto della sottrazione tra lo status iniziale S(t) con la probabilità (α) di ogni individuo di contrarre la malattia (infatti, non siamo sicuri al 100% che ogni incontro frutti degli infetti) ed il calcolo combinatorio n(n-1) / 2. Sì perché se il numero di individui n fosse 4 allora avrei esattamente 4(4-1)/2 combinazioni possibili di passaggio singolo della malattia; come? a,b,c e d. a la passa a b, b la passa a c e c la passa a d ed ho fatto la prima combinazione. La seconda potrebbe essere b la passa a c, c la passa a d e d la passa ad a, e così via….quindi, tenendo buone le combinazioni di contagio (δ) ed (α) come coefficiente di probabilità, ottengo il nostro pulmino (λ), ma attenzione: devo tenere conto anche del tempo trascorso (t + Δt)>0 sempre.
Quindi avendo i seguenti dati:

  • [n(n-1)/2] = δ
  • αδ = λ
  • N = S(t) + I(t) + G(t) = popolazione totale

posso calcolare la derivata prima con pochi passaggi

Unknown-1il risultato finale è <0 e dà informazioni sullo sviluppo della malattia destinato a decrescere per la zona S con la conseguente diminuzione dei suscettibili a favore degli infetti.
Passiamo alla zona I, il ghetto degli infetti che da una parte aumenta grazie al pullman λ che gli porta nuovi malati ma dall’altra diminuisce perché il pullman ϒ trasporta alla zona R i nuovi guariti, pertanto ϒ = R/I ed avremo quindi:

I(t+Δt) = I(t) + nuovi infetti – nuovi guariti * Δt

La situazione nell’aera I è più dinamica. Ai nuovi infetti dati dalla derivata bisogna togliere i nuovi guariti e si evince da se che lo sviluppo della malattia si gioca tutto qui (risparmiandovi i calcoli) in questa equazione:

I’(t) = λS(t) I(t)/N – ϒI(t)
I’ = λI S/N – ϒ I

si vedrà, in base all’andamento della curva Gaussiana, come la malattia e la risposta della popolazione incida sulla campana ad un periodo (t).
Va da sé che l’indice dei contagiati λ col tempo arriverà più prossimo allo 0 se adotteremo delle misure restrittive preventive, mentre l’indice dei guariti (quindi infettati) ϒ dipenderà dallo sviluppo di un eventuale vaccino; comunque vada questo rapporto deve approssimarsi al più presto allo 0 o essere inferiore (il più possibile a 1) per lasciarci alle spalle tale situazione.
Infatti per fotografarne al tempo (t) bisognerebbe sapere se il metodo dell’isolamento adottato ha raggiunto, o sta raggiungendo, lo scopo prefissato ponendo per esempio

λI S/N < ϒI

dove il rapporto delle due misure adottate unito al rapporto in corso d’opera tra suscettibili e totali sia maggiore di 0 ma non di 1.

R0 = λ / ϒ * S/N  < 1

Ovviamente col tempo (anni) S/N → 0 diventando ahimè trascurabile e lascerà solo λ / ϒ ai superstiti con le loro decisioni.

Feynman diceva “meglio chiedersi cosa succederebbe se facessi così piuttosto che chiedersi se farlo o no” e probabilmente, guardando i tempi che stringono, ha ragione, perché riducendo ai minimi termini è nell’intenzione sennata dell’agire che giace il seme della scienza.