Legenda: 

• p = punto
• ∂E = frontiera di E
• E’ = insieme derivato ovvero insieme dei punti di accumulazione di E 
• Ec = insieme complementare di E

Qualsiasi insieme E ⊆ X (in R^n) abbiamo che E∪∂E ⇔ E∪E’

dimostriamo per prima ⇒ :

E∪∂E ⇒ E∪E’: dall’enunciato è sicuro che p∈ E, ma se appartenesse ad E e basta non avrebbe senso l’implicazione stessa, quindi  possiamo ipotizzare che ∉ E. questo significa che p∈ ∂E∩E’  

1. p∉ E, questo significa che sta nella frontiera ∂E
2. stare nella frontiera ∂E significa due cose: o essere isolato, oppure di accumulazione
3. essere isolato non porta alla risoluzione quindi
4. se p∈E’ allora ∃ un punto q≠p t.c q stia all’interno della bolla B(p,r), il che equivale a dire che E∪∂E ⇒ E∪E.

e per seconda ⇐ :

E∪E’ ⇒ E∪∂E: se so che

1. p∈E’ 
2. essere di accumulazione significa stare sulla frontiera sia di E che di Ec t.c ∂E=∂Ec allora
3. p∈∂E il che prova E∪E’ ⇒ E∪∂E

Conclusioni

1. se E∪E’ è chiuso ⇒ Ec aperto
2. se E∪E’ è aperto ⇒ Ec chiuso

tutto dipende dalla frontiera se è inclusa o no nell’intervallo