#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

Separatore-Grigio

Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

#6A insieme InFinito


Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica

#2A teorema di Cantor


Sia X un insieme non vuoto.
Cantor asserisce che non esiste nessuna f suriettivache verifichi la seguente funzione

f: X ——-> P(X)

ru-yev[1]

concetto preliminare: funzione suriettiva, cioè f(X) = Y, quindi che tutti gli elementi di Y hanno almeno una f^-1 che porti all’insieme X.

tesi: Esiste un sottoinsieme B appartenente a P(A) tale che gli elementi a appartenenti ad A non hanno una funzione f(a) in B

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ipotesi: ammettiamo che ogni b in B invece abbia una a – qui sopra rappresentata da una y – in A quindi che sia suriettiva: f(X) = Y 
allora:

  1. se b non appartiene a B (e quindi appartiene al resto di P(A)) con funzione in A allora esistono b in B, assurdo! dovevano essere per tesi senza funzione!
  2. se b appartiene a B con funzione in A allora non esistono in B, assurdo! Per tesi esistono e sono facenti parte di P(A)
bibliografia:
Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra

L’importanza di Cantor


Kronecker reputava Cantor come un ciarlatano.
La sua teoria finitista, dove la matematica poteva essere spiegata deduttivamente da processi finiti, con processi finiti ed inserendo esclusivamente i numeri naturali, fu semplicemente il carburante per menti come Georg Cantor, che non solo trovò due diversi infiniti, l’infinito numerabile degli interi e l’infinito non numerabile del continuo, ma estrapolò concetti come “numerabilità” e “cardinalità”, importantissimi per dare un ordine ad argomenti di difficile astrazione.

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tracciate una diagonale che parte da 1 e cancella 2/2, 3/3 ecc. ed otterrete la stessa numerabilità dei numeri razionali >0 … in fin dei conti è come eliminare 1 ogni volta

Questa serie di numeri razionali >0 espressa in questo modo sono state il metodo con il quale, trascurando la relazione di grandezza (esempio 3/2 è più grande di 1/2 sulla retta) e cancellando tutti i numeratori e denominatori comuni 2/2, 3/3,4/4 ecc., ha dimostrato la numerabilità.

Ma perché è così importante? Per cosa codifica la numerabilità?
Sebbene nella vita reale ci siano analogie tra persone, oggetti e luoghi, questo teorema insegna che alla base di tutto ci sono i numeri ed intelligenza numerica che codificano il presente.
Sebbene le immagini di ciò che ci circondano danno continui input al cervello esso inconsciamente astrae il linguaggio; ad esempio se dico “una bottiglia di birra, un fiasco di vino, una borraccia di liquore” la mente per analogia di colori, forma, consistenza tra loro ecc. codificherà vari sinonimi con la parola più semplice cioè “bottiglia” indipendentemente dal contenuto; ma ciò che ancor più affascina prima del linguaggio consueto è che codifica “uno”, l’unità, il numero 1: la pura e nascosta ovvietà della struttura che la mente immagazzina nell’astrazione prima del concreto.

Questo cosa ha a che vedere con Cantor?
Visivamente riconosciamo numeri interi ovunque e semmai volessimo bere diremmo “dammi un bicchiere di vino” e non “1/5 di bottiglia”; bene, questo, come arcoriflesso cerebrale ci dice: quel quadrato con il quale ha dato numerabilità ai razionali nell’infinito numerabile degli interi è parte della nostra intelligenza numerica che va ben oltre ai numeri interi stessi.

e l’infinito? si chiama infinito perché non è numerabile?
Può darsi che in italiano abbia un senso, ma in matematica tale affermazione è approssimativa. 

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Perché se l’ipotetico numero z  differisse dalla successione anche di una cifra dall’ipotetica numerabilità fatta dalla serie di n-esimi numeri, questo risulterebbe fuori da qualsiasi casistica risultando non contemplato, estraneo e quindi non numerato.

in conclusione: l’intelletto concepisce il reale come continuo denso ed infinito diverso dal razionale, codifica interi ancor prima di associare il numero all’oggetto e traduce dalla matematica in parole semplificando in sinonimi.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA