#3AN Campo Ordinato Completo = R


Un campo è una struttura algebrica con una costante e due operazioni: (k,*,+)     ∀k∈K

che rispetta le seguenti proprietà: Associativa, Commutativa, Distributiva, Elemento Neutro. Un esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali Q.

Ordinato perché possiede una relazione “<” che soddisfa le seguenti proprietà: 

Transitiva – se a<b e b<c ⇒ a<c    ∀a,b,c ∈ K,     ne segue che l’elemento neutro per la moltiplicazione “c>0∈N” non ne cambia la l’ordine

Se a≠b ⇒ a<b ∨ b<a

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Completo perché assume il teorema di completezza: se A⊂R (A• assunto come l’insieme dei maggioranti di R) Superiormente Limitato allora A• ha un minimo. Viceversa se (A∝ assunto come l’insieme dei minoranti di R) Inferiormente Limitato allora A∝ ha una massimo.

Dimostrazione:

  • Sia A⊂R, A sup lim: A•={x∈R :x≥a, ∀a∈A} ≠ ∅            (definizione dell’insieme dei maggioranti come non vuoto)
  • scelgo il minimo dei maggioranti di A• scegliendo la minima cifra tra 0 e 9 delle varie parti di cui è composto il numero: β = c0,c1 c2 c3 c4 c5 … ck-1, ck, xk+1,xk+2 ..
  • Prendo un’ipotetico numero σ = c0,c1 c2 c3 c4 c5 …ck……
  • confronto β e σ: se σ possiede una cifra a ck-1 = 9 allora per il teorema dei resti avremo un numero 9 periodico che ∉R in quanto ck-1,ck,xk+1,xk+2 ecc saranno 9 anche loro.
  • Per assurdo assumo che σ A• allora esiste un numero ϒ>σ t.c. la k-esima cifra di ϒk>ck, ma allora σ>β!! e non ho scelto il minimo elemento dell’insieme dei maggioranti!
  • quindi σ=β oppure le loro k-esime cifre sono ck<bk t.c. σ≤β
  • lo stesso procedimento è possibile affrontarlo con l’insieme dei minoranti

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esempio

dimostrare che 1 è estremo superiore di A={∀n∈Q : (n-1)/n ≤1} o SupA=1

Sapendo che avere un estremo superiore vuol dire ammettere dei maggioranti; in questo caso da enunciato è esplicito che l’1 è il minimo dei maggioranti, ma per dimostrarlo vado per gradi.

Come prima domanda qual è la tesi dell’enunciato?

  • (n-1)/n ≤1 oppure SupA = 1

Se per ogni n appartenente a Q che sostituisco mi dà la disuguaglianza (n-1)/n≤1 allora 1 è il mio estremo superiore. E per dimostrarlo nego la tesi P.A. (per assurdo) dicendo che 1 non è SupA, quindi che Esiste un numero ε>0 che sottratto a 1 mi dà un’estremo superiore magari > (n-1)/n della seguente disuguaglianza:

1-ε   <(n-1)/n   ≤1

invece dopo opportuni calcoli mi risulta n>1/ε il che è sempre vero sempre perché stiamo all’interno dell’insieme Q dei razionali e conseguentemente

1/ε  <n  ≤1

1-ε è quell’elemento supposto massimo all’interno dell’insieme A e che sarà sempre minore di (n-1)/n per qualsiasi ε>0 io prenda. in altre parole avrò sempre un elemento massimo tra 1-ε ed 1 cioè (n-1)/n.

è il minore dei maggioranti? Sì perché se porto l’1 dentro all’insieme A: (n-1/n) – 1≤0 ottengo -1/n ≤0 sempre vero. Per quanto mi possa avvicinare ad 1 al massimo raggiungerò (n-1)/n per ogni n∈N.

Trasparenza Dimostrativa


Prendiamo la frase: il virus che sfrutta la cellula è un parassita 
Ci sono due proposizioni all’interno:

  • il virus sfrutta la cellula
  • il virus è un parassita

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ⇒ proprietà T 
    Se il virus sfrutta la cellula allora è un parassita 
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T ⇒ proprietà I 
    Se il virus è un parassita allora sfrutta la cellula
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ ha la proprietà I ¬ ha la proprietà T
    Se il virus non sfrutta la cellula allora non è un parassita
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T  ¬ ha la proprietà I  
    Se il virus non è un parassita allora non sfrutta la cellula

Nelle materie scientifiche di norma si adottano tre tipi di dimostrazioni: la diretta (1) e l’indiretta o diretta contraria (3) sono le più semplici ma anche le meno usate, mentre quella Per Assurdo è la più accattivante ed anche se spesso risulta nel processo fuorviante, rimane tutt’ora quella più usata sopratutto per tutta la branca astratta in cui si conferma un dato non perché esista ma perché il contrario sarebbe semplicemente illogico.

  • PA:  Se il soggetto ¬ ha la proprietà T   ha la proprietà I ??
    Il virus non è un parassita allora sfrutta la cellula??

    Detta dimostrazione per assurdodove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi  per arrivare ad una ipotesi falsa 

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Mind the gap!
Per Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano sono opposte.

il virus non è un parassita allora non sfrutta la cellula (contronominale) vera

il virus non è un parassita allora sfrutta la cellula ….. è assurda! falsa

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini posti nelle condizioni di esistenza: sufficiente e necessario 

A volte le ipotesi possono essere necessarie/non necessarie
e/o
sufficienti/non sufficienti
in questo caso, per dimostrare la verità della tesi, l’ipotesi che il virus sfrutti la cellula è sia sufficiente che necessaria per affermare 
che è un parassita. 

S.