#10A relazioni: Equivalenza, Preordine ed Ordine


Si chiamano relazioni di Equivalenza quando hanno una funzione binaria ℜ su di un insieme X e soddisfano le 3 seguenti proprietà:

  • riflessiva – aa
  • simmetrica – ab = ba
  • transitiva – ab = bc ⇒ ac

e ad ogni ℜ si associano elementi tra loro che costituiscono una classe di equivalenza :

[a]Þ = { x∈X : xa }

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l’immagine si riferisce alla funzione biunivoca verde che dall’insieme delle classi di equivalenza ζR porta all’insieme Y e definisce l’applicazione obbligatoriamente suriettiva (rossa). X/R o X/∼ è l’insieme quoziente che viene chiamato così perché raduna tutti gli elementi (quanti) che hanno una relazione canonica π tra loro. infatti:

π(a) = [a]ℜ

Separatore-Grigio

Una relazione di preordine si ha tra elementi e risulta totale rispetto agli insiemi in quanto a≤b ≠ b≤a e non altro, mentre A⊂B può essere anche B⊂A a seconda degli elementi al loro interno.

Il preordine è dato agli elementi di un insieme se rispettano le seguenti leggi:

  • a≤a
  • a≤b, b≤c ⇒ a≤c

Se possiedono anche la proprietà simmetrica a≤b = b≤a allora dal preordine passiamo all’ordine (in questo caso di equivalenza)

Spostandoci oltre con la relazione d’ordine  su N, provare che x+1≤y è vera ⇔ esiste una n>0 tale che x+n=y è uguale a scrivere x+1+n-1 =y ovvero 

s(x)*s^n-1 = s^n(x)

img_5699.jpg

quindi tramite induzione e ipotizzando una n∈N sommata ad x otteniamo una relazione d’ordine. l’esempio soprastante per n=4 fissata figurativamente un’applicazione tra gli insiemi (S= successivo) S^n-1 ed S^0(1)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

 

Trasparenza Dimostrativa


Prendiamo la frase: il virus che sfrutta la cellula è un parassita 
Ci sono due proposizioni all’interno:

  • il virus sfrutta la cellula
  • il virus è un parassita

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ⇒ proprietà T 
    Se il virus sfrutta la cellula allora è un parassita 
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T ⇒ proprietà I 
    Se il virus è un parassita allora sfrutta la cellula
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ ha la proprietà I ¬ ha la proprietà T
    Se il virus non sfrutta la cellula allora non è un parassita
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T  ¬ ha la proprietà I  
    Se il virus non è un parassita allora non sfrutta la cellula

Nelle materie scientifiche di norma si adottano tre tipi di dimostrazioni: la diretta (1) e l’indiretta o diretta contraria (3) sono le più semplici ma anche le meno usate, mentre quella Per Assurdo è la più accattivante ed anche se spesso risulta nel processo fuorviante, rimane tutt’ora quella più usata sopratutto per tutta la branca astratta in cui si conferma un dato non perché esista ma perché il contrario sarebbe semplicemente illogico.

  • PA:  Se il soggetto ¬ ha la proprietà T   ha la proprietà I ??
    Il virus non è un parassita allora sfrutta la cellula??

    Detta dimostrazione per assurdodove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi  per arrivare ad una ipotesi falsa 

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Mind the gap!
Per Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano sono opposte.

il virus non è un parassita allora non sfrutta la cellula (contronominale) vera

il virus non è un parassita allora sfrutta la cellula ….. è assurda! falsa

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini posti nelle condizioni di esistenza: sufficiente e necessario 

A volte le ipotesi possono essere necessarie/non necessarie
e/o
sufficienti/non sufficienti
in questo caso, per dimostrare la verità della tesi, l’ipotesi che il virus sfrutti la cellula è sia sufficiente che necessaria per affermare 
che è un parassita. 

S.