#10A relazioni: Equivalenza, Preordine ed Ordine


Si chiamano relazioni di Equivalenza quando hanno una funzione binaria ℜ su di un insieme X e soddisfano le 3 seguenti proprietà:

  • riflessiva – aa
  • simmetrica – ab = ba
  • transitiva – ab = bc ⇒ ac

e ad ogni ℜ si associano elementi tra loro che costituiscono una classe di equivalenza :

[a]Þ = { x∈X : xa }

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l’immagine si riferisce alla funzione biunivoca verde che dall’insieme delle classi di equivalenza ζR porta all’insieme Y e definisce l’applicazione obbligatoriamente suriettiva (rossa). X/R o X/∼ è l’insieme quoziente che viene chiamato così perché raduna tutti gli elementi (quanti) che hanno una relazione canonica π tra loro. infatti:

π(a) = [a]ℜ

Separatore-Grigio

Una relazione di preordine si ha tra elementi e risulta totale rispetto agli insiemi in quanto a≤b ≠ b≤a e non altro, mentre A⊂B può essere anche B⊂A a seconda degli elementi al loro interno.

Il preordine è dato agli elementi di un insieme se rispettano le seguenti leggi:

  • a≤a
  • a≤b, b≤c ⇒ a≤c

Se possiedono anche la proprietà simmetrica a≤b = b≤a allora dal preordine passiamo all’ordine (in questo caso di equivalenza)

Spostandoci oltre con la relazione d’ordine  su N, provare che x+1≤y è vera ⇔ esiste una n>0 tale che x+n=y è uguale a scrivere x+1+n-1 =y ovvero 

s(x)*s^n-1 = s^n(x)

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quindi tramite induzione e ipotizzando una n∈N sommata ad x otteniamo una relazione d’ordine. l’esempio soprastante per n=4 fissata figurativamente un’applicazione tra gli insiemi (S= successivo) S^n-1 ed S^0(1)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

 

Trasparenza Dimostrativa


Prendiamo la frase: il virus è un endoparassita che sfrutta la cellula
Ci sono due proposizioni all’interno:

  • il virus è un endoparassita
  • il virus sfrutta la cellula

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ha la proprietà T
    Se il virus è un endoparassita allora sfrutta la cellula
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T  ha la proprietà I
    Se il virus sfrutta la cellula allora è un endoparassita
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ ha la proprietà I  ¬ ha la proprietà T
    Se il virus non è un endoparassita allora non sfrutta la cellula 
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T  ¬ ha laproprietà I
    Se il virus non sfrutta la cellula allora non è un endoparassita

Prima di parlare di dimostrazioni va fatta una distinzione circa la forma ed il suo significato. Le casistiche sopracitate si riferiscono puramente alla struttura delle quattro frasi possibili espresse e sebbene i loro significati scambiati di posizione abbiano comunque un senso, ciò non comportano le rispettive veridicità ai fini dimostrativi.
Pertanto, a seconda del campo in cui ci troviamo ed anche di fronte ad una affermazione palesemente insensata, finché non ci viene fornito almeno uno ed un solo elemento che confuti l’enunciato, tale dimostrazione si conferma valida ai fini logici.

Detto questo possiamo già asserire che le frasi son tutte vere ed hanno una loro logica.
Nelle materie scientifiche di norma si adottano tre tipi di dimostrazioni: la diretta (1) e l’indiretta o diretta contraria (3) sono le più semplici ma anche le meno usate, mentre quella Per Assurdo è la più accattivante, dove anche se spesso risulta nel processo fuorviante, rimane tutt’ora quella più usata sopratutto per tutta la branca astratta in cui si conferma un dato non perché esista ma perché il contrario sarebbe semplicemente illogico.

  • PA:  Se il soggetto ¬ ha la proprietà T   ha la proprietà I ??
    Il virus non sfrutta la cellula allora è un endoparassita ??

    Detta dimostrazione per assurdodove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi per arrivare ad una ipotesi falsa!

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Mind the gap!
Per Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano sono opposte.

il virus è un endoparassita.     il virus non sfrutta la cellula allora non è un endoparassita (contronominale) vera

il virus è un endoparassita.    il virus non sfrutta la cellula allora è un endoparassita ….. è assurda! falsa

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini: sufficiente e necessario.

  • condizione necessaria affinché un virus sia endoparassita è che sfrutti la cellula
  • condizione sufficiente affinché un virus sfrutti la cellula è che sia un endoparassita

Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En = (1+1/n)^n dia come limite per n→ ∞  di En = e

Unknown-1

In maniera discorsiva, nella dimostrazione devo arrivare a confermare dall’ipotesi vera di En < En+1  la veridicità della tesi En+1/ En >1.
Quindi se so che il
limite superiore di En = e, per n che tende all’infinito, è un elemento che sta fuori dalla mia serie En, che tende a dx verso L in quanto non maggiorante(che sta fuori) e so che, per un intervallo arbitrario ε>0 che tolgo da L (L- ε) verso sx avrò sempre per ogni n0≤n (o n≤n+1) una serie En < En+1che mi si avvicina sempre più ad L 

allora

Avrò in questo caso!! il rapporto del successivo sul precedente En+1/ En sarà sempre >1 e lo dobbiamo anche grazie a uno dei fratelli Bernoulli ed ad una sua importante disuguaglianza 

P.Assurdo è palese in quanto avrei dovuto negare la tesi En+1/ En >1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 !?! L’ipotesi quindi En < En+1 sarebbe risultata falsa!
Infine condizione necessaria affinché En < En+1 è che En+1/ En >1mentre invece è sufficiente che En+1/ En >1 per sapere che En < En+1.