#10a relazioni: Equivalenza, Preordine ed Ordine

Si chiamano relazioni di Equivalenza quando hanno una funzione binaria ℜ su di un insieme X e soddisfano le 3 seguenti proprietà:

  • riflessiva – aa
  • simmetrica – ab = ba
  • transitiva – ab = bc ⇒ ac

e ad ogni ℜ si associano elementi tra loro che costituiscono una classe di equivalenza :

[a]Þ = { x∈X : xa }

IMG_5653

l’immagine si riferisce alla funzione biunivoca verde che dall’insieme delle classi di equivalenza ζR porta all’insieme Y e definisce l’applicazione obbligatoriamente suriettiva (rossa). X/R o X/∼ è l’insieme quoziente che viene chiamato così perché raduna tutti gli elementi (quanti) che hanno una relazione canonica π tra loro. infatti:

π(a) = [a]ℜ

Separatore-Grigio

Una relazione di preordine si ha tra elementi e risulta totale rispetto agli insiemi in quanto a≤b ≠ b≤a e non altro, mentre A⊂B può essere anche B⊂A a seconda degli elementi al loro interno.

Il preordine è dato agli elementi di un insieme se rispettano le seguenti leggi:

  • a≤a
  • a≤b, b≤c ⇒ a≤c

Se possiedono anche la proprietà simmetrica a≤b = b≤a allora dal preordine passiamo all’ordine (in questo caso di equivalenza)

Spostandoci oltre con la relazione d’ordine  su N, provare che x+1≤y è vera ⇔ esiste una n>0 tale che x+n=y è uguale a scrivere x+1+n-1 =y ovvero 

s(x)*s^n-1 = s^n(x)

img_5699.jpg

quindi tramite induzione e ipotizzando una n∈N sommata ad x otteniamo una relazione d’ordine. l’esempio soprastante per n=4 fissata figurativamente un’applicazione tra gli insiemi (S= successivo) S^n-1 ed S^0(1)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

 

#a4b Trasparenza Dimostrativa

Abbiamo visto che dati gli insiemi A e B possiamo stabilire le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due (o più insiemi) contemporaneamente, affermando come V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è e con l’uso dei connettivi logici che valgono per(∧=e), (∨=o),(¬ =non), (→ =allora), si completa in maniera esaustiva la comprensione della gran parte dei teoremi.
come?  

Prendiamo la frase: Un triangolo isoscele di due lati uguali ha due angoli uguali

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ha la proprietà T
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T ha la proprietà I
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ proprietà I ¬ ha la proprietà T
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T → ¬ ha la proprietà I

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Prima di parlare di dimostrazioni va fatto un appunto circa la forma in quanto struttura ed il suo significato. Le casistiche sopracitate si riferiscono puramente alla struttura, quindi alle 4 forme possibili che un enunciato venga espresso, non badando al senso della frase (che in questo caso è vero); questo perché se il significato fosse falso come ad esempio “il numero 21 ha 2 divisori ed è primo” allora basterebbe trovarne un controesempio per confutarne la tesi.

Detto questo possiamo asserire che se è vera la 1 è vera la 4, ma se sostituissimo delle lettere al soggetto, ipotesi e tesi avremmo ben 3 modi per dimostrare la veridicità di un’affermazione:

1: (IT)           2: (¬I¬T)        3: ¬(I¬T)

  1. Detta dimostrazione diretta è il metodo più semplice infatti basta assumere l’ipotesi come vera e se è vera la tesi l’enunciato è dimostrato
  2. Detta dimostrazione indiretta, cioè assumo per falsa l’ipotesi e se la tesi è falsa allora l’enunciato è vero
  3. Detta dimostrazione per assurdo, dove assumo l’ipotesi sia vera arrivando ad una tesi falsa che mi conferma che l’enunciato è falso, assurdo!

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini: sufficiente e necessario.

  • condizione necessaria affinché un triangolo isoscele abbia due lati uguali è che abbia due angoli uguali
  • condizione sufficiente affinché un triangolo isoscele abbia due angoli uguali è che abbia due lati uguali
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