La strada dell’immaginazione


Vorrei dare delle piccole dritte a tutti coloro che si stanno approcciando alla matematica ed al ragionamento astratto

Per poter visualizzare un’immagine di un concetto dobbiamo tradurre ciò che è scritto in maniera univoca e affidabile; spesso durante alcune letture di enunciati mi è capitato di trovare la stessa dicitura tra parentesi differenti come ad esempio tra {bi : iI} e (bi: iI): la differenza sostanziale è il riferimento che danno le medesime nel primo caso indicandone l’immagine, quindi un insieme della funzione bi con gli indici che appartengono ae nel secondo la funzione appartenente ad un indice I che manda in bi .
Risulta sottile ma sostanziale ai fini della comprensione non lasciare nulla al caso.

Vi faccio una domanda: che cosa sottintende la dicitura { X |P(a)}? (esiste una a appartenente a X tale che una proposizione a sia vera?

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In base al concetto di prima le parentesi indicano un insieme dove la a sta in X e nella proposizione di a, quindi il riferimento implicito che ci dà un nuovo elemento su cui ragionare è {a  X∩P(a)} un nuovo sottoinsieme di X e di P(a). Lo stesso passo è valevole per il quantificatore “per ogni=∀ “, perché se per ogni elemento esistente in un insieme si verifica una determinata proposizione allora gli stessi stanno nell’unione dell’insieme di partenza con l’insieme della proposizione.

Avere più informazioni possibili riduce a volte il margine di errore, ma in qualche caso dobbiamo proprio immaginare che le regole vengono ribaltate. De Morgan fa questo con le leggi che governano gli insiemi; ma la cosa ancora più stupefacente è che possiamo immaginare gli elementi come anch’essi facenti parte di una famiglia di elementi per la quale si crea a sua volta un insieme che racchiude determinati predicati a cui rispondono. Il tutto sembra interconnesso e lo è a tutti gli effetti: l’Assioma della scelta conferma che per quanto scelga una cosa fra tante avrò scelto tante cose in una e la funzione come risultante di un processo di delimitazione del caos.

Perciò quando davanti agli occhi ci compare un’espressione è doveroso chiedersi in che “contesto” ha risultati, in quanto tutto è una restrizione se non un’immersione completa sul tutto.

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Il diagramma sovrastante mostra un ipotetico approccio all’algebra volto a spiegarne le connessioni; sono solo un modo di evidenziare come concetti base diventino propedeutici per gli argomenti a venire. Come?
Senza Peano  gli assiomi che ne derivano non avremmo ordine da cui iniziare, senza applicazioni (funzioni) non avremmo strutture sensate e gli elementi corrisponderebbero senza regole, senza metodo induttivo non potremmo dimostrare che cos’è l’insieme delle parti e senza insieme delle parti congiunto con il teorema di Cantor-Bernstein, non avrebbero luogo procedimenti logici che portano oggi a riassumere la cardinalità dei numeri Reali come |P(N)| = |2^N| ≤ |R|

L’immaginazione è consegnare l’esattezza, ma attenzione: possiamo astrarre quanto si vuole ma il procedimento è sempre concretamente esperienziale. Vero? In parte.

Senza dubbio la matematica è la scienza delle relazioni intrinseche più che delle cose in se stesse dove ogni oggetto acquista o perde valore, potere, evidenza solo se messo in relazione con qualcos’altro che spesso non ci dà la soluzione, non ci afferma “è così!”, si limita elegantemente a dirci che ciò che abbiamo trovato “sicuramente non è così”:

  • non è solido e ne gassoso.  (è liquido)
  • siamo non vincitori. (siamo perdenti)
  • (∏X∈F) X≠∅   il prodotto di tutte le X appartenenti alla famiglia F di X è diverso dall’insieme vuoto

Ma gran parte del ragionamento matematico accetta per vera un’affermazione mai direttamente enunciata dimostrandone l’inesistenza del contrario; mette in relazione oggetti irreali, (basti pensare ad un oggetto in 2D seppur piccolo di spessore praticamente inesistente sulla faccia della terra!), palesandone l’esistenza accettando l’opposto dell’inesistenza.

Insomma possiede il rigore amorale della natura ed il pensiero di un intrepido bimbo.
C’è una citazione di Einstein che appare tutt’altro che ovvia a chi studia matematica e che dice così:

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Credo fermamente che non sbagli nulla nel senso letterale dei termini: “L’immaginazione ti porterà ovunque”, proprio oltre il reale e chissà se un domani potremmo davvero realizzare l’immaginario dopo aver in realtà immaginato tanto per arrivarci?

 

Fidarsi ed affidarsi


Trovare la risposta alla domanda: “Da dove nasce una passione?”
Avevo qualche reminiscenza passata e non mi riferisco ad Heisenberg, che senza escluderlo a priori si rivolgeva ai quanti ed al loro mondo non propriamente come il nostro, ma alla memoria di un quaderno che mio nonno Lino aveva; un libretto di appunti ricordo consunto già allora, dove all’epoca – mio nonno classe 1898 – scriveva i suoi primi studi. Chissà perché poi lo facesse?

 

Così lontanamente vicina: Principio di Generalizzazione


Bertrand Russell asseriva che la maggior parte degli insiemi non contiene se stesso come elemento: è chiaro che se io sono l’insieme dei numeri interi non posso esserne contemporaneamente un’elemento.
Il paradosso dell’infinito, cioè che un dato insieme possa essere contemporaneamente sia elemento che insieme di elementi, è un punto fermo al di là del quale dovremmo vederne, nello sforzo dei molti matematici citati nel corso della storia, una chiara direzione dell’ambizione umana.
Nel corso del tempo il peso di tale convinzione ha imparato a convivere con l’altro concetto: alla base di ogni ragionamento sta sempre il passaggio ipotetico-deduttivo, l’intuizione, quel sentimento che provoca nel guardarsi dentro e che dentro scaturisce l’entusiasmo di continuare la ricerca su molti fronti, che accomuna argomenti e muove verso la scoperta il nostro bimbo interiore.
Quindi non si tratta solo di infinito e di paradossi, ma anche di sentimenti a volte in contrasto fra loro e che conducono l’uomo ad affrontare la stessa realtà davanti ai suoi occhi.
Ma allora perché una materia che abbraccia molti aspetti a noi familiari è contemporaneamente così ostica nell’apprendimento?

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Abituarsi a ragionare non per immagini ma per strutture è il primo passo verso la generalizzazione: conoscere significa sapere logiche e leggi che governano un procedimento e la matematica, avvalendosi solo della curiosità, adempie sé stessa rendendo l’uomo universalmente libero; basti pensare all’evoluzione del numero. Con l’affermazione “Dio fece i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kronecker delimitava la libertà di calcolo del tempo e solo più avanti, per consentire maggior autonomia, i numeri razionali sono stati paragonati agli interi stessi. Ma perché?

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Queste sono le proprietà alle quali tutti i numeri dovevano rispondere per coerenza.

Tutto parte dalle regole dei segni ideate dall’uomo per dare una base coerente al sistema e che paradossalmente non accetta dimostrazioni (Eulero) se non in relazione alle proprietà fondamentali dell’aritmetica.

Per esempio (-1) * (-1) = 1 oppure 1/2 + 1/2 = 1 non 2/4

Comunque, all’inizio si usavano solo numeri naturali per contare, poi grazie al concetto di “misura” e di seguito l’introduzione dei razionali, ci siamo scontrati con il limite degli stessi, cercando una coerenza molto ampliata e sofferta nel principio di generalizzazione.
Per capirci: finché si trattava di somme e prodotti di numeri positivi (razionali e interi) non ci sono state grosse difficoltà, ma con l’accettazione dello 0 come numero e la conseguente introduzione delle operazioni inverse (divisione e sottrazione), l’equazione “a – b = x” per “b > a” ha trovato il proprio posto nel rispetto delle proprietà sopra citate; anzi, furono proprio esse a dettare le regole del sistema aritmetico che tiene ancora oggi tutto in piedi!

Come dicevo trovare un risultato x<0 che rispetti proprietà base dell’aritmetica ha semplicemente stravolto i matematici; si è dovuti ammettere che ciò che crea movimento o le meccaniche (le proprietà) dirigono e soppesano gli elementi (i numeri); pian piano si è arrivati alla percezione che più la matematica estendeva i suoi domini e più la formalità prendeva piede nella filosofia della scienza, abbandonando ideologie fisse ed abbracciando l’esigenza di maggiore libertà di calcolo, fino a “geometrizzare” l’aritmetica con Descartes e Fermat, grazie ai quali un numero reale trova nel segmento l’elemento associativo della sua lunghezza (geometria analitica).

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Il luogo dei punti di un piano

Con l’avvento dei numeri irrazionali nel XIX secolo i confini vengono decisamente abbattuti, l’apertura del termine “numero” diventa così vasta che viene perfino accettata l’idea di dimostrazione indiretta pur di darsi delle spiegazioni. I famosi Cantor, Kronecker e Dedekind si son contesi molto a riguardo ed indirettamente, dato che un numero irrazionale è definito tutt’oggi come un simbolo di successione monotona di intervalli razionali. 

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questa equazione ammette soluzioni nel campo dei numeri reali (razionali ed irrazionali)

Immergersi nei numeri complessi, composti da una parte reale “a” ed una immaginaria “b” dove “i^2 = – 1”, ha portato a risultati geometrici (Wessel, Argand e Gauss) e quindi anch’essi visibili ed allargato ulteriormente il dominio oltre i reali, confermando sempre più nell’immaginario umano che il numero sia più un luogo oltre, che connette in solitudine l’invisibile.

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Quest’altra equazione non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali

Ad oggi, abbiamo imparato a non dare risposta, a lasciare aperti i quesiti che spingono la teoria dei numeri alla ricerca di certezze ed assimilato il dubbio come strumento di verifica dove fortunatamente molto è ancora da scoprire (congettura matematica di Riemann, numeri fatidici ecc) nella sicurezza di una coerenza metodologica, storica e di pensiero.

Per concludere il modo di pensare è frutto del reale da cui la matematica è nata per esigenza, quasi come un processo artistico che per sua natura ne ha fatto, nel corso dei secoli,  la regina delle materie, percorrendo ed estendendo il dominio dei numeri con l’introduzione di nuovi simboli senza compromettere le regole del passato, sviluppandosi nella moltitudine ed astraendo in ciò che oggi chiamiamo semplicemente Principio di Generalizzazione.

Bibliografia:
  Carl B.Boyer – Storia della matematica
  Richard Courant e Herbert Robbins – Che cos’è la matematica

 

Criteri feat Congruenze


Contro qualcosa di insormontabile la matematica ci può dare una forte mano a comprendere ciò che abbiamo davanti, generalizzando in dinamiche che vanno ben oltre al caso particolare.

Con criterio di divisibilità io separo e trascelgo che per arrivare ad un risultato ho bisogno di un metodo il più possibile ordinato, efficace e che vada bene per ogni situazione. E’ un primo passo verso l’astrazione, ma se risponde alla domanda giusta diventa decisivo anche ai fini risolutivi.
Dobbiamo avere chiari due concetti prima di procedere: congruenza e notazione scientifica.
Ogni numero può essere scritto in notazione scientifica decimale: 2.750 = 2(10^3)+ 7(10^2)+5(10) ed ogni coppia di numeri possono essere congrui modulo x: 12 (mod5) e 22 (mod5) danno resto 2 (12:5=2 resto 2, 22:5=4 resto 2).
Perché sono importanti questi argomenti?
Nella vita può capitarmi un piccolo problema come dividere 25; ma se mi capitasse 3.162.819?
Il nostro numero non è altro che la sommatoria di più cifre scritta in notazione scientifica nella base più comoda e che tutti conosciamo: base 10

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Ad un tratto arriva il professore, la brutta notizia, l’imprevisto e ti mette nei guai  chiedendo “bene: dividimelo per 11!”
Qui entrano in sinergia, con la notazione scientifica, le proprietà della congruenza che non differiscono dalle leggi aritmetiche:

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il prodotto dei resti segue le leggi aritmetiche: 1*-1=-1 ed -1*-1=1

Il segno alternato della congruenza dà un importante spunto sul metodo da esplorare  con le cifre del nostro numero; infatti se eseguo la sommatoria delle congruenze ed ottengo sempre 0, allora, rifacendo tale procedimento con le cifre del mio numero e tralasciando l’ordine di grandezza (10^n), dovrei ottenere un risultato che diviso per 11 mi dà 0!
Vediamo: (-1*3) + (+1* 1) + (-1*6) + (+1*2) + (-1*8) + (+1*1) + (-1*9) = – 22 / 11 = – 2
resto 0

Osservazioni:
Sapere un criterio di divisibilità significa studiare a priori ciò che abbiamo davanti prima ancora di approcciarci ad esso, osservando e capendone le caratteristiche; citando una celebre frase di Omero che diceva “Niente è bello sotto tutti i punti di vista”, possiamo, in questo caso, vedere tale numero acquisire importanza se visto come sommatoria numerica e non come ordine di grandezza, consapevoli del fatto che la mente associa per sua natura ed abitudine.

In conclusione grazie alle congruenze in base 10 troviamo il criterio di divisibilità di qualsiasi numero. I resti che si ripetono ciclicamente, es. +1-3+2+1-3+2+1-3+2 ecc. saranno i coefficienti da moltiplicare all’ordine di grandezza del numero da dividere.

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ma sappiate che questa è solo una delle tante strade percorribili … 😉

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

Metodo induttivo


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Guardando l’enunciato ricordarsi sempre di identificare cosa sto guardando. In questo caso un’uguaglianza tra una progressione numerica (sommatoria) ed una frazione.

Poi verificarne la veridicità tramite sostituzione, tenendo conto delle condizioni di esistenza. (Perché il contesto in cui si opera è la cosa più importante che chiunque, in qualsiasi situazione, prima di prendere una decisione e portarla fondo deve avere ben chiaro) – in questo caso “per ogni intero >=1.

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Ok è vera. Si fa questo passaggio perché altrimenti staremmo dimostrando l’enunciato nel campo dell’assurdo; sarebbe come fare i 100mt sulla terra con le pinne!

Ora, appurata questa uguaglianza come ipotesi vera dico che vale anche per ogni +1 che metto ad n, quindi la mia tesi dovrebbe portarmi ad un risultato del genere

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A questo punto se l’ipotesi l’ho dimostrata ed è vera mi manca solo da dimostrarne la tesi

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queste due operazioni in realtà sono la stessa, cambia solo la parte verde, ma perché per dimostrare che venga lo stesso risultato ho bisogno di scambiare la sommatoria con la frazione

Questo passaggio è spesso delicato ed ho sottolineato i termini UGUALI con lo stesso colore.
Perché dico uguali? Perché in questo caso la sommatoria è la frazione. Basta sostituirla e risolvere per vedere se riesco ad ottenere lo stesso risultato.

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primo passaggio denominatore comune, secondo passaggio raccoglimento parziale 5^n+1, quarto passaggio estraggo 5 da 20n+15 e lo moltiplico per 5^n+1 dandomi 5^n+2.

il risultato ottenuto è lo stesso dell’immagine precedente. Uguaglianza dimostrata.

Ricordate il significato delle parole: In-durre per De-durre, trarre dentro (4^ immagine sostituzione delle parti verdi) per trarre da (5^ immagine la dimostrazione).
Elegante nella forma no?

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

Gauss l’artista


Carl Friedrich Gauss, uno dei principi della matematica lo reputo un vero artista, un regista, più che un pittore visti alcuni suoi ritratti, che faceva letteralmente recitare i numeri come voleva. Le serie ed il primo concetto di limite di una serie numerica lo dobbiamo soprattutto a lui.
Il problema che pose il suo maestro alla classe lui lo risolse in 5 minuti con un calcolo geniale; se sia una versione verosimile noi non possiamo saperlo, ma l’intuizione nel trovare una via alternativa è qui generalizzata ed ogni volta che la vedo mi vengono in mente le parole di Martha Medeiros “lentamente muore chi non capovolge il tavolo”

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Nel suo caso specifico era da risolvere la somma dei numeri che vanno da 1 a 100. Lui la ribaltò e vide che nel primo passaggio risultava la somma per ben 100 volte dello stesso numero: 101. Da lì i passaggi seguenti sono ovvi.

Ecco perché 1+2+3+….+n=Sn.
Entrare nella logica, cioè nel logos, significa abitare le stanze della comprensione.
Esempio questo usato anche per dimostrare il metodo di induzione.

nb. Sn sta per Sommatoria Numerica e non Serie.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

 

L’importanza di Cantor


Kronecker reputava Cantor come un ciarlatano.
La sua teoria finitista, dove la matematica poteva essere spiegata deduttivamente da processi finiti, con processi finiti ed inserendo esclusivamente i numeri naturali, fu semplicemente il carburante per menti come Georg Cantor, che non solo trovò due diversi infiniti, l’infinito numerabile degli interi e l’infinito non numerabile del continuo, ma estrapolò concetti come “numerabilità” e “cardinalità”, importantissimi per dare un ordine ad argomenti di difficile astrazione.

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tracciate una diagonale che parte da 1 e cancella 2/2, 3/3 ecc. ed otterrete la stessa numerabilità dei numeri razionali >0 … in fin dei conti è come eliminare 1 ogni volta

Questa serie di numeri razionali >0 espressa in questo modo sono state il metodo con il quale, trascurando la relazione di grandezza (esempio 3/2 è più grande di 1/2 sulla retta) e cancellando tutti i numeratori e denominatori comuni 2/2, 3/3,4/4 ecc., ha dimostrato la numerabilità.

Ma perché è così importante? Per cosa codifica la numerabilità?
Sebbene nella vita reale ci siano analogie tra persone, oggetti e luoghi, questo teorema insegna che alla base di tutto ci sono i numeri ed intelligenza numerica che codificano il presente.
Sebbene le immagini di ciò che ci circondano danno continui input al cervello esso inconsciamente astrae il linguaggio; ad esempio se dico “una bottiglia di birra, un fiasco di vino, una borraccia di liquore” la mente per analogia di colori, forma, consistenza tra loro ecc. codificherà vari sinonimi con la parola più semplice cioè “bottiglia” indipendentemente dal contenuto; ma ciò che ancor più affascina prima del linguaggio consueto è che codifica “uno”, l’unità, il numero 1: la pura e nascosta ovvietà della struttura che la mente immagazzina nell’astrazione prima del concreto.

Questo cosa ha a che vedere con Cantor?
Visivamente riconosciamo numeri interi ovunque e semmai volessimo bere diremmo “dammi un bicchiere di vino” e non “1/5 di bottiglia”; bene, questo, come arcoriflesso cerebrale ci dice: quel quadrato con il quale ha dato numerabilità ai razionali nell’infinito numerabile degli interi è parte della nostra intelligenza numerica che va ben oltre ai numeri interi stessi.

e l’infinito? si chiama infinito perché non è numerabile?
Può darsi che in italiano abbia un senso, ma in matematica tale affermazione è approssimativa. 

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Perché se l’ipotetico numero z  differisse dalla successione anche di una cifra dall’ipotetica numerabilità fatta dalla serie di n-esimi numeri, questo risulterebbe fuori da qualsiasi casistica risultando non contemplato, estraneo e quindi non numerato.

in conclusione: l’intelletto concepisce il reale come continuo denso ed infinito diverso dal razionale, codifica interi ancor prima di associare il numero all’oggetto e traduce dalla matematica in parole semplificando in sinonimi.

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

Curiosa analogia


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Il numeratore dà il coefficiente di distribuzione dei singoli numeri primi tra gli interi. é affascinante trovare un collegamento tra la funzione logaritmica (il reciproco) e la distribuzione stessa; come due concetti apparentemente lontani si tocchino tendendosi a 1 all’aumentare di “n”. “An” ci dice quante volte incontriamo un numero primo (es. 5volte) mentre “n” è l’intervallo preso arbitrariamente in considerazione ed espresso in 10, 10^2, 10^3. Più “n” è alto e più la probabilità di trovare un numero primo, nell’intervallo scelto, si avvicina allo “0”.