Vorrei dare delle piccole dritte a tutti coloro che si stanno approcciando alla matematica ed al ragionamento astratto

Per poter visualizzare un’immagine di un concetto dobbiamo tradurre ciò che è scritto in maniera univoca e affidabile; spesso durante alcune letture di enunciati mi è capitato di trovare la stessa dicitura tra parentesi differenti come ad esempio tra {bi : i∈I} e (bi: i∈I): la differenza sostanziale è il riferimento che danno le medesime nel primo caso indicandone l’immagine, quindi un insieme della funzione bi con gli indici che appartengono a I e nel secondo la funzione appartenente ad un indice I che manda in bi .
Risulta sottile ma sostanziale ai fini della comprensione non lasciare nulla al caso.

Vi faccio una domanda: che cosa sottintende la dicitura {∃a ∈ X |P(a)}? (esiste una a appartenente a X tale che una proposizione a sia vera?

In base al concetto di prima le parentesi indicano un insieme dove la a sta in X e nella proposizione di a, quindi il riferimento implicito che ci dà un nuovo elemento su cui ragionare è {a ∈ X∩P(a)} un nuovo sottoinsieme di X e di P(a). Lo stesso passo è valevole per il quantificatore “per ogni=∀ “, perché se per ogni elemento esistente in un insieme si verifica una determinata proposizione allora gli stessi stanno nell’unione dell’insieme di partenza con l’insieme della proposizione.

Avere più informazioni possibili riduce a volte il margine di errore, ma in qualche caso dobbiamo proprio immaginare che le regole vengono ribaltate. De Morgan fa questo con le leggi che governano gli insiemi; ma la cosa ancora più stupefacente è che possiamo immaginare gli elementi come anch’essi facenti parte di una famiglia di elementi per la quale si crea a sua volta un insieme che racchiude determinati predicati a cui rispondono. Il tutto sembra interconnesso e lo è a tutti gli effetti: l’Assioma della scelta conferma che per quanto scelga una cosa fra tante avrò scelto tante cose in una e la funzione come risultante di un processo di delimitazione del caos.

Perciò quando davanti agli occhi ci compare un’espressione è doveroso chiedersi in che “contesto” ha risultati, in quanto tutto è una restrizione se non un’immersione completa sul tutto.

Il diagramma sovrastante mostra un ipotetico approccio all’algebra volto a spiegarne le connessioni; sono solo un modo di evidenziare come concetti base diventino propedeutici per gli argomenti a venire. Come?
Senza Peano  gli assiomi che ne derivano non avremmo ordine da cui iniziare, senza applicazioni (funzioni) non avremmo strutture sensate e gli elementi corrisponderebbero senza regole, senza metodo induttivo non potremmo dimostrare che cos’è l’insieme delle parti e senza insieme delle parti congiunto con il teorema di Cantor-Bernstein, non avrebbero luogo procedimenti logici che portano oggi a riassumere la cardinalità dei numeri Reali come |P(N)| = |2^N| ≤ |R|

L’immaginazione è consegnare l’esattezza, ma attenzione: possiamo astrarre quanto si vuole ma il procedimento è sempre concretamente esperienziale. Vero? In parte.

Senza dubbio la matematica è la scienza delle relazioni intrinseche più che delle cose in se stesse dove ogni oggetto acquista o perde valore, potere, evidenza solo se messo in relazione con qualcos’altro che spesso non ci dà la soluzione, non ci afferma “è così!”, si limita elegantemente a dirci che ciò che abbiamo trovato “sicuramente non è così”:

• non è solido e ne gassoso.  (è liquido)
• siamo non vincitori. (siamo perdenti)
• (∏X∈F) X≠∅   il prodotto di tutte le X appartenenti alla famiglia F di X è diverso dall’insieme vuoto

Ma gran parte del ragionamento matematico accetta per vera un’affermazione mai direttamente enunciata dimostrandone l’inesistenza del contrario; mette in relazione oggetti irreali, (basti pensare ad un oggetto in 2D seppur piccolo di spessore praticamente inesistente sulla faccia della terra!), palesandone l’esistenza accettando l’opposto dell’inesistenza.

Insomma possiede il rigore amorale della natura ed il pensiero di un intrepido bimbo.
C’è una citazione di Einstein che appare tutt’altro che ovvia a chi studia matematica e che dice così:

Credo fermamente che non sbagli nulla nel senso letterale dei termini: “L’immaginazione ti porterà ovunque”, proprio oltre il reale e chissà se un domani potremmo davvero realizzare l’immaginario dopo aver in realtà immaginato tanto per arrivarci?