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Sapete, in linea teorica, quante persone vanno vaccinate?

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Ecco qui un calcolo molto approssimativo sui sintomatici:

Rt = numero di Riproduzione Effettivo
R0 = numero di Riproduzione Netto (il massimo potenziale di diffusione di un patogeno)

Di norma Rt <= R0 per diverse variabili quali individui resistenti, vaccinati, precauzioni prese nel tempo, immigrazione di soggetti senza anticorpi o con; insomma rimane un equazione soggetta ad oscillazioni nel corso del tempo.
Ora, la fotografia ritrae un Rt = 1,75 ed un R0 = 2,5 perciò,
stando alla situazione attuale 
se: 

A) 1 individuo potenzialmente ne infetta 2,5 
B) ed una frazione della popolazione non vaccinata rimarrà suscettibile (1 – V)
quindi abbiamo Rt = R0(1-V)

allora:
per evitare un’ondata ulteriore l’Rt deve necessariamente essere <1 (un individuo non infetti un’altro individuo), quindi 


da  Rt = R0(1-V) passiamo a 1 > R0(1-V)

1 > 2,5 * (1-V)

V > 1-1/2,5 = 0,6 * 100 = 60%
V > 60%

7Mld*60% = 4,2Mld di persone al mondo
60.360.000 * 60% = 36.216.000 persone in Italia

il calcolo è effettuato sul valore di riproduzione netto R0 ma data l’ultima notizia secondo la quale all’Italia saranno destinati circa 27M di vaccini, Rt non dovrà superare il seguente valore:

60% : 36,21M = x : 27M
(27M*60%) / 36,21M = 44,74%

V > 1 – 1/x = 0,4474
Rt < 1.81

aggiornamento Gennaio 2021:
indice Rt medio è sceso a 1,03 in tutta la penisola. Considerazioni:
1) l’Rt è un esponente
2) lim xRt =1 per Rt–>0 per ogni x appartenente ad N

S.

(fonti: mensile Prisma ottobre 2018)

Il tempo: direzione e probabilità

Simone Lascia un commento

La differenza fra passato e futuro esiste solo quando c’è calore. Il fenomeno fondamentale che distingue il futuro dal passato è il fatto che il calore va dalle cose più calde alle cose più fredde.

Carlo Rovelli

Quando ero studente di Chimica mi piacevano le reazioni esoergoniche che liberavano calore più delle endoergoniche, perché c’era la sorpresa di trovare non solo dei prodotti dai reagenti ma anche energia, che immancabilmente dopo un certo Δ di tempo si dissipava nell’aria. Bene, questa “liberazione” segue una curva più o meno gaussiana “a campana” dove una salita esponenziale e× ed una discesa e–× sorreggono il picco per una lasso di tempo relativamente breve.
La medesima curva usata per calcolare il famoso R0 delle malattie infettive è la stessa che distribuisce gli indici di un polinomio (coefficiente binomiale) secondo la probabilità governata in natura dall’entropia, quella misura di disordine di un qualsiasi sistema fisico conosciuta con la lettera S. 

Ma tornando alla chimica per chi non lo sapesse esiste una costante che mi definisce il numero di particelle presenti in una mole di sostanza chiamato Numero di Avogadro ed è circa 6,022 * 10²³; praticamente è la quantità di atomi/molecole presenti, collegata con il peso atomico di ogni elemento e che funge da fattore di conversione. Per esempio il peso atomico dell’acqua è 18 (0=16, H+H=2) allora 18g di acqua avranno 6,022 * 10²³ molecole al suo interno: un numero abbastanza grande direi!

Quindi, a prescindere dall’energia che ne libera o necessita, una reazione tende da uno stato di ordine ad uno di disordine di tutti gli atomi seguendo una legge probabilistica di distribuzione, conferendone così la direzione temporale in tutti i processi presenti in natura. Come?
Immaginate di averne invece di 6,022 * 10²³ atomi/molecole solo 4 e l’asse del tempo che spazialmente ve li porti da un ambiente perturbato ad uno di equilibrio nella reazione che vorreste ottenere: ad esempio una vasca divisa in due da una barriera di plexiglass, dove da una parte c’è dell’acqua e dall’altra aria. Cosa succederebbe se levaste la barriera? La acqua andrebbe sx a dx e viceversa fino a ristabilire l’equilibrio nei due spazi; ebbene il numero di casistiche in cui potreste trovare disposti questi atomi, ammesso siano solo 4, corrisponderebbero a 4! =4* 3*2*1, mentre in quanti modi potreste combinarli tra loro rispondono invece a 24=16:

  1. s = sinistra e d = destra
  2. ssss, sssd, sdds, sddd, ssds, dsss, ssdd, sdsd, ddds, dsds, ddss, ddsd, dsss, dsdd, dssd, dddd.

perciò 2/16 agli estremi (ssss, dddd), 4/16 più sx che dx (sssd, ssds, dsss, sdss) e 4/16 più dx che sx (sddd, dsdd, ddds, ddsd) ed infine al centro 6/16 (ddss, dsds, dssd, sdds, sdsd, ssdd).

N sono gli atomi/molecole totali ed è esattamente la somma di n + n’ che sono il liquido a sx + il gas a dx prima che la barriera venga tolta. Dal momento che la leviamo andremo ad agire in maniera probabilistica sulle molecole a livello microscopico andando ad equilibrare verso l’entropia lo stato macroscopico del nostro ambiente.
La formula generalizzata delle probabilità con cui n molecole si trovano a dx o sx rispetto alle totali è:

P(N) = n! / N!

Essa tende a 0 per N→ 6,022*1023.

la curva che va a zig zag è l’andamento nelle molecole che da dx a sx si stabilizzeranno nel mezzo dove è più probabile tale configurazione, che corrisponde ad esattamente N/2 nel macroambiente, ed è dettata dalla funzione 1/2N per N che tende a 6,022*1023 .

Lo stesso grafico roteato di 90 gradi. In ascissa abbiamo (t) dove la funzione 1/2^n porta il grafico all’equilibrio di maggiore probabilità

Il recipiente arriva all’equilibrio esattamente quando il grafico è prossimo allo 0 ma questo non garantisce che rimanga nel tempo esattamente a N/2. Inoltre più N è grande e più è improbabile trovare molecole raggruppate a dx o sx in un macroambiente una volta perturbato, questo perché la deviazione standard (scarto quadratico medio) stimata come la media √1/N di tutti gli scostamenti relativi al N assoluto mi indica l’oscillazione della parte centrale del cambiamento di stato dove alcune molecole andranno da dx a sx e viceversa in un lasso di Δt ; infatti se ipotizzassimo 100 molecole divise in 50 a dx e 50 a sx avremmo teoricamente √1/N = √1/100 = 1/10

45 ————– 5+5 ————- 45

Tirando le somme la direzione del tempo percepito sulla Terra scorre in una sola direzione perché nell’opposta diventerebbe trascurabile ed improbabile per l’esigua distribuzione delle molecole in un macroambiente, conclusione accettabile se si guarda solamente l’aspetto chimico/fisico: se scorresse al contrario?
Teoricamente soluzione comunque possibile.

S.

PA non solo Per Assurdo

Simone Lascia un commento

Chi sa cos’è una PA?
In italiano si dice Analisi Predittiva ed è un processo che richiede lo sviluppo di un modello adatto per quella azienda che ha bisogno di un “aggiustamento” di fatturato, sempre in positivo, e che si avvale di big data (enormi quantità di dati) interpretati dalla figura del data analyst.
Ogni applicazione della PA è definita da due punti:

  1. Che cosa viene previsto: il tipo di comportamento (azione, evento) da prevedere per ciascun individuo
  2. Come viene utilizzato: le decisioni motivate dalle previsioni ovvero l’azione intrapresa dalle aziende in risposta alla previsione.

In pratica l’azienda B decide di alzare il fatturato o di acquisire credibilità sul mercato nel suo settore e per battere la concorrenza investe ingenti somme di denaro per l’acquisto di dati da un’altra azienda A che ne raccoglie enormi quantità proprio del settore in cui l’azienda B abbisogna; presto fatto B paga A ed A sviluppa dei modelli (o standard) differenti che la “ingrossano” a discapito della concorrenza.
Grazie ai dati raccolti negli ultimi 4 anni la “Google Flu Trends” ha sviluppato una PA dove la tendenza delle persone a cercare rimedi per l’influenza sui loro motori di ricerca ne prevede la sua diffusione; in soldoni significa che i nostri “movimenti di ricerca” sono indicatori di malattia. E’ un po’ come dire “la ricerca mi porta alla malattia” e non il contrario.
Per farvi un’idea la Pa di Yahoo! stessa ha scoperto che chi vede un banner di un’azienda ha la probabilità del 61% superiore di altre che il consumatore ci clicchi per cercare informazioni, col conseguente aumento di fatturato del 249%. Immaginate quindi la potenza di tale strumento…?
Ma veniamo alla tanto discussa app Immuni.
Il Financial Times nel 2014 scrisse “quello che manca è la teoria, la capacità di raccogliere e analizzare i dati per rispondere a domande complesse. Il problema dei “big data” non è il big, ma l’idea che la quantità possa eludere il problema dei modelli interpretativi e causali”: focus e target da implementare. Ma a smorzare tali affermazioni ci pensa “La Stampa” che riprendendo un articolo de “il Post”, sempre di quell’anno, asserisce che dal 2008 ad oggi la Google Flu Trends avrebbe comunque sbagliato di molto le previsioni sui trend influenzali: tanta gente che si fida dei medici piuttosto che di una multinazionale o perché chi cerca non ha un medico di base o forse perché l’influenza stessa non è motivo di ricerca assidua quanto un’altra cura per un’altra malattia? Non lo sappiamo, se non che da un po’ di anni a questa parte gli analisti stanno affinando le tecniche per abbassare il più possibile il margine di errore.
Abbiamo avuto l’esperienza di questo virus che ha messo in ginocchio il sistema sanitario territoriale nazionale; infatti lo (si fa per dire) scoglio per le nazioni come la nostra non è stato solo far fronte ad una crescita esponenziale di casi allestendo delle terapie intensive in ogni struttura nel minor tempo possibile, ma soprattutto di agire in maniera preventiva evitando che il paziente ci arrivasse in fase avanzata di malattia.

Presa visione della falla ed indipendentemente dalle ragioni di base che l’hanno scaturita, l’applicazione Immuni risulta un assist per le multinazionali, non solo a cedere i nostri dati, ma a calcolarne in maniera affidabile delle PA pagate a peso d’oro grazie ai dati ricavati dall’app.
Dove sta il cambio? Probabilmente nel progressivo innalzamento di credibilità ed affidabilità di Google nel prevedere dove, come l’influenza si sviluppa nel mondo e come porvi iniziale rimedio senza scomodare il medico di base con la proporzionale decrescita di professionisti del settore sanitario territoriale?

Potrebbe essere un’ipotesi.

Bibliografia e riferimenti:
Eric Siegel – Analisi Predittiva
https://cristinacenci.nova100.ilsole24ore.com/2014/04/06/google-flu-trends-big-data-senza-big-theory/?refresh_ce=1
https://www.lastampa.it/opinioni/editoriali/2014/03/18/news/l-influenza-non-si-cura-con-google-1.35778856

 

 

Covid – 19: modello contagioso

Simone Lascia un commento

Provo a fare chiarezza più discorsiva con il modello matematico SIR già visto in questi giorni ma non forse ben recepito. Parto dalla fine: cos’è R0? è l’indice di infettività che ha ogni malattia ed è una “stima” composta dal rapporto tra λ e ϒ, due costanti che ci indicano gli infetti sui guariti

R0 = λ / ϒ

Ora si ratta solo di andare a scoprire queste due costanti da cosa sono date e che informazioni ci comunicano.

Immaginatele dei vettori che come dei pullman portano gente da un’area all’altra: abbiamo quindi λ che porta le persone suscettibili (non sane) facendole scendere nell’area infetti I e ϒ che trasporta gli infetti fino alla zona di guarigione R.
Va da sé capire che sono strettamente correlate fra loro perché in un’arco di tempo più o meno lungo, si passerà da 1/100 a 50/50 fino a 100/1 dove tutti saranno contagiati e/o guariti, situazione utopica, per afferrare l’idea che prima o poi il picco si raggiungerà, sia se si prenderanno misure contenitive o no.

Abbiamo quindi, lasciando perdere i deceduti, tre aree: suscettibili (S), Infetti (I) e guariti (R) con i loro pullman che trasportano un numero certo di persone da un’area all’altra. Ultima ma non per importanza abbiamo la variabile (t) tempo.
Calcoliamo λ che porta da S → I. Il Tempo (t) ci dice che (λ) trasporta persone da S a I cambiando il numero degli individui presenti nelle aree; di conseguenza avrò due valori di S in relazione al tempo che mi stabiliscono la prima equazione

S(t + Δt) = S(t) – (nuovi infetti) 

Fosse tutto qui saremmo contenti, ma in parte lo è!
I nuovi infetti “che sto trasportando” sono il frutto della sottrazione tra lo status iniziale S(t) con la probabilità (α) di ogni individuo di contrarre la malattia (infatti, non siamo sicuri al 100% che ogni incontro frutti degli infetti) ed il calcolo combinatorio n(n-1) / 2. Sì perché se il numero di individui n fosse 4 allora avrei esattamente 4(4-1)/2 combinazioni possibili di passaggio singolo della malattia; come? a,b,c e d. a la passa a b, b la passa a c e c la passa a d ed ho fatto la prima combinazione. La seconda potrebbe essere b la passa a c, c la passa a d e d la passa ad a, e così via….quindi, tenendo buone le combinazioni di contagio (δ) ed (α) come coefficiente di probabilità, ottengo il nostro pulmino (λ), ma attenzione: devo tenere conto anche del tempo trascorso (t + Δt)>0 sempre.
Quindi avendo i seguenti dati:

  • [n(n-1)/2] = δ
  • αδ = λ
  • N = S(t) + I(t) + G(t) = popolazione totale

posso calcolare la derivata prima con pochi passaggi

Unknown-1il risultato finale è <0 e dà informazioni sullo sviluppo della malattia destinato a decrescere per la zona S con la conseguente diminuzione dei suscettibili a favore degli infetti.
Passiamo alla zona I, il ghetto degli infetti che da una parte aumenta grazie al pullman λ che gli porta nuovi malati ma dall’altra diminuisce perché il pullman ϒ trasporta alla zona R i nuovi guariti, pertanto ϒ = R/I ed avremo quindi:

I(t+Δt) = I(t) + nuovi infetti – nuovi guariti * Δt

La situazione nell’aera I è più dinamica. Ai nuovi infetti dati dalla derivata bisogna togliere i nuovi guariti e si evince da se che lo sviluppo della malattia si gioca tutto qui (risparmiandovi i calcoli) in questa equazione:

I’(t) = λS(t) I(t)/N – ϒI(t)
I’ = λI S/N – ϒ I

si vedrà, in base all’andamento della curva Gaussiana, come la malattia e la risposta della popolazione incida sulla campana ad un periodo (t).
Va da sé che l’indice dei contagiati λ col tempo arriverà più prossimo allo 0 se adotteremo delle misure restrittive preventive, mentre l’indice dei guariti (quindi infettati) ϒ dipenderà dallo sviluppo di un eventuale vaccino; comunque vada questo rapporto deve approssimarsi al più presto allo 0 o essere inferiore (il più possibile a 1) per lasciarci alle spalle tale situazione.
Infatti per fotografarne al tempo (t) bisognerebbe sapere se il metodo dell’isolamento adottato ha raggiunto, o sta raggiungendo, lo scopo prefissato ponendo per esempio

λI S/N < ϒI

dove il rapporto delle due misure adottate unito al rapporto in corso d’opera tra suscettibili e totali sia maggiore di 0 ma non di 1.

R0 = λ / ϒ * S/N  < 1

Ovviamente col tempo (anni) S/N → 0 diventando ahimè trascurabile e lascerà solo λ / ϒ ai superstiti con le loro decisioni.

Feynman diceva “meglio chiedersi cosa succederebbe se facessi così piuttosto che chiedersi se farlo o no” e probabilmente, guardando i tempi che stringono, ha ragione, perché riducendo ai minimi termini è nell’intenzione sennata dell’agire che giace il seme della scienza.

 

Natura di Serie Topologica

Simone Lascia un commento

 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           eˆn,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
Schermata 2018-12-06 alle 23.59.08

[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58

spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale R³ dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in R³.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss

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Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

Messaggio Non-Euclideo

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Ieri sera stavo seduto sul terrazzino ed all’improvviso ho notato questo triangolo nel cielo e mi sono immaginato se da fuori fosse stato così piano come da “dentro”:

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si noti bene il triangolo nel cielo – foto scattata alle ore 19:22 del 02/08/2018

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Bibliografia: l’equazione di Dio – Amir D.Aczel

La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità

Simone Lascia un commento

Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

salvadordali

Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A