Natura di Serie Topologica


 

 

 

Chiunque voglia sinceramente la verità è sempre spaventosamente forte

Dostoevkij non era un matematico, ma in quanto artista riconosceva l’uomo e la sua forza nel trovare comunione tra tutte le foto soprastanti con la formula generale della progressione; dal cavolo romanesco alle conchiglie ciò che noi vediamo ed i matematici codificano in linguaggio è una spirale, più o meno ampia ma coerentemente in armonia agli occhi dell’osservatore.

Cosa abita dietro a tanta armonia? Formule, tanto per cambiare!

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serie aritmetica di n numeri per n che tende a + infinito

 

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serie geometrica q^n

 

Occupiamoci della seconda cioè della serie geometrica q^n che per la cronaca è la serie che codifica per strutture frattali come il cavolo romanesco.
A confrontare la foto con la formula sembrano non esserci punti di connessione ma se partissimo dal centro e tracciassimo con un pennarello il raggio che dall’origine della spirale esce su lungo tutto l’ortaggio, ad ogni cuspide che si interseca avremmo un q; questo procedimento reiterato allontanandoci dal centro ci fornisce una successione di q1,q2,q3,q4,…,qn-volte che sommate fra loro danno la formula astratta. Sebbene ogni n equivalga al logaritmo in base e di x, le somme parziali di tutti i q^n che incontriamo fino all‘n-esimo corrispondono alla stima della suddetta serie geometrica, la quale viene identificata tale perché l’esponente n segue una progressione del tipo:

  • e  + (e*e) + (e*e*e) + (e*e*e*e) + (e*e*e*e*e) + ….        per  e=q
  • e¹ +   e²   +     e³      +    …..           n,                          per n →∞
  • il carattere della serie che è dato dal lim per n →+∞ di eˆn = x che risulta >1 quindi divergente a +∞ (log in base e di x = n)

Come ci si è arrivati a tale risultato è descritto qui sotto

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  • ho moltiplicato per q la serie per tutti i termini fino ad arrivare al termine n-esimo maggiorandolo a +1
  • in C ho effettuato sia a dx che a sx la sottrazione Sn – qSn, che semplificando termine a termine
  • in D raccolgo a sx Sn
  • al 6 porto sotto (1-q). il risultato può essere visto come una sottrazione di due numeri razionali dove il secondo (quello con l’esponente n+1) corrisponde alla serie “trascurabile” ai fini del calcolo del limite per identificarne la convergenza
Schermata 2018-12-06 alle 23.59.08

[nella figura è leggermente divergente perché il lim per n →+∞ di eˆn = x = k  che risulta >1;
x = r che aumenta alla rotazione del punto p di distanza OP dal centro. La rotazione è data da kθ = ln r; mentre il modulo |r| ne è la distanza] 

Vale la pena spendere anche due parole sulla prima di serie che si identifica in {1+2+3+4+5+6+7+8+9+ …. +x} dove in questo caso i raggi di ogni braccio dell’aspirale sono a distanza costante di 1 l’un l’altro ed il ln di 1 è sempre “e”

Schermata 2018-12-06 alle 23.59.58
spirale di raggio costante n

Parlando di serie si identifica cosa sta dietro ad una spirale, al suo comportamento ed al carattere che mostra, ma i punti sono inseriti in una realtà tridimensionale dove ne fa da padrona anche il campo complesso con prodotti scalari, quindi la faccenda è molto più complicata se dovessimo spostarci da un punto di raggio più piccolo del II quadrante ad uno di raggio 8 volte tanto o 16000 volte più grande del III quadrante in.
Sta di fatto che dobbiamo a Gauss (ma non solo), l’inventore della prima formula dell’articolo [S=n(n+1)/2 per n→∞], se oggi riusciamo a concepire una metrica in modo coerente ed universale su tutte le forme esistenti conosciute … con una propensione verso il limite per capirne il comportamento 😉

 

 

Considerazioni sulla risoluzione di esercizi sul campo di Gauss


Sun Tzu diceva “colui che capisce quando è il momento di combattere e quando non lo è, sarà vittorioso”, anche se senza dubbio cavarsela con calcoli più o meno complicati dà soddisfazione.

La frase è tanto bella e piena di significato solo per chi di calcoli ne ha fatti a tonnellate ed accertato che, per sapere quando combattere bisogna per lo meno esser scesi in campo, vedere che aria tira e sbattere la testa in continuazione per cavarne una soluzione decente, la strada del sapere “quando” scendere rischia di diventare non una battaglia ma una vera e propria guerra a volte troppo dura.

 Se parliamo poi di numeri complessi, che ahimè si affrontano solo a fine percorso semi-obbligatorio per non dire universitario, allora la faccenda diventa complicata.

un po’ di consigli pratici

  • z = (x+iy)
  • |z|=√x²+y² , che corrisponde alla lettera greca ρ (rho) ed è una distanza in C dal centro (0,0)
  • iz = ruoto di π/2 in senso antiorario il punto z
  • -iz = ruoto di π/2 in senso orario il punto z
  • 1/z * zc/zc = zc/|z|² —> moltiplicando N e D per zconiugato ottengo al N zconiugato ed il quadrato del modulo al D 
  • z*zc = |z|²
  • |z-1-i| ricordatevi che è uguale a |z-(1+i)|, cioè 1+i=w, altro numero complesso; tutto può essere tradotto come |z-w|=|z|-|w|
  • per esempio z²³, quindi z alte, usate la forma esponenziale: elevate il modulo e moltiplicate l’argomento per 23
  • √z<0 ha comunque 2 soluzioni 
  • i²¹ ricordarsi che dopo i^4 i risultati si ripetono
  • u=1/z è quasi sempre una circonferenza

 

Messaggio Non-Euclideo


Ieri sera stavo seduto sul terrazzino ed all’improvviso ho notato questo triangolo nel cielo e mi sono immaginato se da fuori fosse stato così piano come da “dentro”:

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si noti bene il triangolo nel cielo – foto scattata alle ore 19:22 del 02/08/2018

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Bibliografia: l’equazione di Dio – Amir D.Aczel

La Saggezza nei Tentativi: Così nasce l’Amore dalle Probabilità


Esiste una Frequenza Relativa ed una Frequenza Probabile in tutti gli eventi.
La prima differisce dalla seconda dal numero esiguo di tentativi, faccio un esempio: Su 10 calci di rigore ne segnante 6 che, ipotizzando l’aleatorietà del fatto, vi conferma il 60% di successo; ma supponete di tirarne 1000 e qui fate ben 562 reti, il 56,2%. In questo caso la vostra Frequenza Relativa si trasforma in Frequenza Probabile proprio perché nella legge dei grandi numeri non si arriverà mai ad un risultato secco come 60%, ma ogni calcolo probabile oscillerà intorno al 60% propio come nel secondo esempio e questo grazie ai Tentativi, e quindi al tempo, che cambia il corso degli eventi coi i suoi risultati.
Ma la Probabilità, come nell’articolo Il Pensiero Positivo delle Probabilità è uno status mentale. Lanciando una moneta abbiamo il 50% di fare croce come testa; più lanci si fanno e più la % non sarà del 50% secco ma oscillerà a seconda del “caso” che, sebbene non esista, in matematica possiamo stabilirne con probabilità epistemica quindi quasi certa.SONY DSC

Esistono 2 tipi di Probabilità su Eventi …

  1. incompatibili – pari o dispari → P(A∩B) = 0, infatti la probabilità che escano contemporaneamente insieme è 0
  2. compatibili – dispari o multiplo 3 compreso tra 0 e 10 → P(A∩B) = 3/5

Ora, molti enunciati non sono chiari ma quando ci troviamo davanti a ” pari o dispari”, “settembre o novembre”, “mare o montagna”, “7 o 8″, si sommano le singole probabilità sottraendone l’in/compatibilità temporale che i due risultati accadano simultaneamente.

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
formula generale delle probabilità

dalla formula all’esempio: per trovare P(A∪B) sommiamo la probabilità che dal lancio della moneta risulti pari (1/2) con la probabilità che risulti dispari (1/2) e sottraiamo la probabilità che simultaneamente sia pari che dispari quindi l’intersezione dei due eventi (0). Il risultato (1) è la probabilità che lanciando una moneta si abbia pari o dispari = 1*100=100%
NB.
Figurativamente parlando il termine Incompatibili significa che temporalmente al verificarsi dell’evento è possibile avere solo una delle due Probabilità

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Negli eventi compatibili (punto 2) notiamo subito che la parte P(A∩B) è ≠ 0 perché può capitare simultaneamente che escano numeri dispari P(A) e multipli di 3 P(B). così abbiamo:

P(A) = {1,3,5,7,9} → 5/10
P(B) = {3,6,9} → 3/10
P(A∩B) = {3,9} → 2/10
P(A∪B) = {1,3,5,6,7,9} → 6/10

seguendo la formula generale delle probabilità il risultato è il seguente:

5/10 + 3/10 – 2/10 = 6/10 = 3/5

… che possono risultare a volte …

  1. indipendenti tra loro – Che Probabilità ho di ottenere 5 e CROCE se lancio un dado ed una moneta
  2. dipendenti tra loro – Probabilità di scegliere due fiches rosse da 12 fiches rosse e 8 fiches nere

eventi

Per trovare la P di eventi indipendenti basta moltiplicarne le due singole probabilità tra loro es: P(A) = 1/6 per il tiro del dado di ottenere un numero desiderato con P(B) = 1/2 di avere testa o croce nel lancio di una moneta. Quindi P(A∩B) = P(A) *P(B) = 1/12

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Diversamente calcolare la probabilità di due eventi dipendenti quindi di scegliere due fiches rosse su 12 fiches rosse ed 8 nere richiede un requisito già visto: Il calcolo fattoriale.

Perché?
Se è vero che le probabilità di calcolano attraverso il rapporto tra

casi favorevoli / casi possibili

se scegliessi un caso casualmente favorevole di conseguenza la probabilità di sceglierne un’altro simile tra i casi possibili cambierebbe istantaneamente; perciò ho bisogno di permutare il risultato al cambiare degli eventi. Quindi:

12! / 2!(12-2)! / 20! / 2! (20-2)!

12/20 * 11/19 è il risultato

Alquanto strano ma comprensibile se li vediamo singolarmente: infatti 12/20 è il 60% di probabilità di scegliere una fiches rossa al primo turno e che scende al 57,89% (11/19) nel sceglierne un’altra sempre rossa al secondo turno; questo perché il la mia scelta non è più tra 20 ma tra 19; quindi se andassimo avanti … per esempio (10/18) = 55,55%, così via.
Generalizzando questa dinamica viene chiamata Probabilità Condizionata e si calcola così:

P(A∩B) = P(A) * P(B|A)

P(B|A) si legge Probabilità che succeda B tenendo conto che è successo A

Il Pensiero è Positivo od anche il Percorso più Probabile?


Un evento per far si che si verifichi bisogna saperne l’aleatorietà? Il calcolo delle probabilità ci rassicura a riguardo e malgrado la nostra ansia, se puntassimo simultaneamente su due casistiche opposte, avremmo come risultante una vittoria = 1, es, testa o croce, pari o dispari ecc.

cropped-friedrich.jpgNei casi in cui avessimo n > 2 casistiche bisognerebbe vederne la posta in gioco se (f)avorevole o (s)favorevole secondo la formula

f*v – s*p / f+s 

Se tale espressione valesse 0 allora la (v)incita sarebbe equilibrata es:

Tiro 2 dadi da 6 e punto sull’uscita di un numero x >10, a quanto dovrebbe ammontare la ricompensa se ciò accadesse?
Per prima cosa abbiamo 6² = 36 casistiche dove 6 sono favorevoli e 30 sfavorevoli

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va da se che sostituendo alla formula i numeri verrebbe

6*1 – 30*1 / 6+30 = -2/3   →   -66% 

v = 5 darebbe il rapporto 5:1 come neutro e logico, e di conseguenza se puntassimo 1 su x >10 ed 1 su x <10 avremmo comunque una vincita >0 in quanto probabile che eventi possibili e favorevoli si verifichino, perciò Probabilità P(E) >0

è vero che la probabilità P della somma di eventi E e G è uguale alla somma delle rispettive probabilità allora

P(E + G)   =    P(E) + P(G)

dove spesso ci troviamo a puntare su più di una casistica contemporaneamente, es: 1×2 della schedina ed è utile dire che le probabilità mutano grazie alla seguente espressione

P = f / f+s 

così come vittoria e perdita → p/v+p. Se ponessimo l’uguaglianza v/ p+v = f/ f+s allora avremmo davanti non solo la scommessa ma anche il compenso e nella sua composizione Probabilistica.

C’è un quesito storico che fu oggetto di vari approcci risolutivi il quale trovò ampio consenso nella risoluzione da parte di Pierre Fermat (1623 – 1662) e Nicolò Tartaglia (1499 – 1557) e che parla di 2 scommettitori e sull’interruzione di una partita svolta nel puntare in totale 24 monete (12+12) su un banale testa o croce. La partita si interrompe a 6 lanci su 9 totali lasciando il risultato di 4-2 vittorie di X nei confronti di Y; la domanda chiedeva quali e quante fossero le probabilità, nonché il guadagno per ogni casistica se avessero finito la partita?

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La tabella riassume tutte le opzioni dei lanci futuri riassunti nel punteggio che per ovvie ragioni non andrebbe al di là del 5; avremmo 4 colone per 5-2, 2 colonne per 5-3 e una sola per 4-5 e 5-4, quindi su un totale di 2³=8 casistiche un 50% di 5-2, un 25% di 5-3 ed un 12,5% per 4-5 e 5-4 per un totale di 4 esiti finali.
Ora tralasciamo i lanci dal 1 al 6 e concentriamoci sugli ultimi 3 (7,8,9). Abbiamo messo 3 come esponente di 2 possibili condizioni cioè testa o croce giusto? Ma allora questo 2³=8 che cos’è? è la sommatoria ∑ dei coefficienti binomiali disposti in maniera probabilistica ma sempre in ugual numero.

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i coefficienti del cubo di un binomio (a+b)³ nello specifico ma in generale nel famoso quadrato di Tartaglia.
Ma quante monete spettano ad X ed Y ad ogni casistica? partiamo dal fondo a partita finita:

  • al ^9 tiro corrispondono le ultime due colonne 4-5 e 5-4 dove le 24 monete vano a X o Y
  • all’^8 tiro eseguito avremmo un 4-4 dove 12 monete vanno a ad X e 12 vanno a Y, oppure 5-3 dove tutte e 24 andrebbero a X. Ancora prima, quindi salendo a sinistra incontriamo un 4-3 dove comunque a X vanno 12 monete ma ad Y 12/2 = 6 e le restanti 6 a X perché in questo caso il tiro non è stato ancora effettuato. Ricapitolando: X=18 ed Y=6 
  • al ^7 tiro abbiamo il nodo 4-2 dove se si fa 5-2 ad X vanno 24, 4-3 si danno 18 a X e 6 a Y ma se venisse interrotto prima cioè a punteggio 4-2 (quindi il ^6 tiro) ad X andrebbero  18 sicure + 6/2=3 quindi 21 monete a 3 per X.

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il dividere per due indica l’aleatorietà dell’uomo che calcola al 50% la probabilità di un risultato in assenza di variabili di percorso lasciando una sensazione di intelligente ignoranza matematica perché in fondo … nulla è esatto quanto prevedibile.

bibliografia

la matematica dell'incertezza - Marco Li Calzi

 

Trasparenza Dimostrativa


Dati gli insiemi A e B possiamo stabilire le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due (o più insiemi) contemporaneamente, affermando come V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è e con l’uso dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o),(¬ =non), (⇒ =allora), si completa in maniera esaustiva la comprensione della gran parte dei teoremi.
come?  

Prendiamo la frase: Un triangolo isoscele di due lati uguali ha due angoli uguali

Abbiamo 4 casistiche possibili:

  1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ha la proprietà T
  2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T  ha la proprietà I
  3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ proprietà I   ¬ ha la proprietà T
  4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T   ¬ ha la proprietà I

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Prima di parlare di dimostrazioni va fatto un appunto circa la forma in quanto struttura ed il suo significato. Le casistiche sopracitate si riferiscono puramente alla struttura, quindi alle 4 forme possibili che un enunciato venga espresso, non badando al senso della frase (che in questo caso è vero); questo perché se il significato fosse falso come ad esempio “il numero 21 ha 2 divisori ed è primo” allora basterebbe trovarne un controesempio per confutarne la tesi.(es il numero 7)

Detto questo possiamo asserire che se è vera la 1 è vera la 4, ma se sostituissimo delle lettere al soggetto, ipotesi e tesi avremmo ben 3 modi per dimostrare la veridicità di un’affermazione:

1: (I T)           2: (¬I ¬T)        3: ¬(I ¬T)

  1. Detta dimostrazione diretta è il metodo più semplice infatti basta assumere l’ipotesi come vera e se è vera la tesi l’enunciato è dimostrato
  2. Detta dimostrazione indiretta, cioè assumo per falsa l’ipotesi e se la tesi è falsa allora l’enunciato è vero
  3. Detta dimostrazione per assurdodove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi per arrivare ad una ipotesi falsa!

Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano nell’Assurdo è falsa, mentre nella Contronominale è vera!

se 3 è dispari allora non è divisibile per 2.    3 è divisibile per 2 allora non è dispari (contronominale)

se 3 è dispari allora non è divisibile per 2,    3 è divisibile per 2 allora è dispari è assurda!

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini: sufficiente e necessario.

  • condizione necessaria affinché un triangolo isoscele abbia due lati uguali è che abbia due angoli uguali
  • condizione sufficiente affinché un triangolo isoscele abbia due angoli uguali è che abbia due lati uguali

 

La strada dell’immaginazione


Vorrei dare delle piccole dritte a tutti coloro che si stanno approcciando alla matematica ed al ragionamento astratto

Per poter visualizzare un’immagine di un concetto dobbiamo tradurre ciò che è scritto in maniera univoca e affidabile; spesso durante alcune letture di enunciati mi è capitato di trovare la stessa dicitura tra parentesi differenti come ad esempio tra {bi : iI} e (bi: iI): la differenza sostanziale è il riferimento che danno le medesime nel primo caso indicandone l’immagine, quindi un insieme della funzione bi con gli indici che appartengono ae nel secondo la funzione appartenente ad un indice I che manda in bi .
Risulta sottile ma sostanziale ai fini della comprensione non lasciare nulla al caso.

Vi faccio una domanda: che cosa sottintende la dicitura { X |P(a)}? (esiste una a appartenente a X tale che una proposizione a sia vera?

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In base al concetto di prima le parentesi indicano un insieme dove la a sta in X e nella proposizione di a, quindi il riferimento implicito che ci dà un nuovo elemento su cui ragionare è {a  X∩P(a)} un nuovo sottoinsieme di X e di P(a). Lo stesso passo è valevole per il quantificatore “per ogni=∀ “, perché se per ogni elemento esistente in un insieme si verifica una determinata proposizione allora gli stessi stanno nell’unione dell’insieme di partenza con l’insieme della proposizione.

Avere più informazioni possibili riduce a volte il margine di errore, ma in qualche caso dobbiamo proprio immaginare che le regole vengono ribaltate. De Morgan fa questo con le leggi che governano gli insiemi; ma la cosa ancora più stupefacente è che possiamo immaginare gli elementi come anch’essi facenti parte di una famiglia di elementi per la quale si crea a sua volta un insieme che racchiude determinati predicati a cui rispondono. Il tutto sembra interconnesso e lo è a tutti gli effetti: l’Assioma della scelta conferma che per quanto scelga una cosa fra tante avrò scelto tante cose in una e la funzione come risultante di un processo di delimitazione del caos.

Perciò quando davanti agli occhi ci compare un’espressione è doveroso chiedersi in che “contesto” ha risultati, in quanto tutto è una restrizione se non un’immersione completa sul tutto.

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Il diagramma sovrastante mostra un ipotetico approccio all’algebra volto a spiegarne le connessioni; sono solo un modo di evidenziare come concetti base diventino propedeutici per gli argomenti a venire. Come?
Senza Peano  gli assiomi che ne derivano non avremmo ordine da cui iniziare, senza applicazioni (funzioni) non avremmo strutture sensate e gli elementi corrisponderebbero senza regole, senza metodo induttivo non potremmo dimostrare che cos’è l’insieme delle parti e senza insieme delle parti congiunto con il teorema di Cantor-Bernstein, non avrebbero luogo procedimenti logici che portano oggi a riassumere la cardinalità dei numeri Reali come |P(N)| = |2^N| ≤ |R|

L’immaginazione è consegnare l’esattezza, ma attenzione: possiamo astrarre quanto si vuole ma il procedimento è sempre concretamente esperienziale. Vero? In parte.

Senza dubbio la matematica è la scienza delle relazioni intrinseche più che delle cose in se stesse dove ogni oggetto acquista o perde valore, potere, evidenza solo se messo in relazione con qualcos’altro che spesso non ci dà la soluzione, non ci afferma “è così!”, si limita elegantemente a dirci che ciò che abbiamo trovato “sicuramente non è così”:

  • non è solido e ne gassoso.  (è liquido)
  • siamo non vincitori. (siamo perdenti)
  • (∏X∈F) X≠∅   il prodotto di tutte le X appartenenti alla famiglia F di X è diverso dall’insieme vuoto

Ma gran parte del ragionamento matematico accetta per vera un’affermazione mai direttamente enunciata dimostrandone l’inesistenza del contrario; mette in relazione oggetti irreali, (basti pensare ad un oggetto in 2D seppur piccolo di spessore praticamente inesistente sulla faccia della terra!), palesandone l’esistenza accettando l’opposto dell’inesistenza.

Insomma possiede il rigore amorale della natura ed il pensiero di un intrepido bimbo.
C’è una citazione di Einstein che appare tutt’altro che ovvia a chi studia matematica e che dice così:

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Credo fermamente che non sbagli nulla nel senso letterale dei termini: “L’immaginazione ti porterà ovunque”, proprio oltre il reale e chissà se un domani potremmo davvero realizzare l’immaginario dopo aver in realtà immaginato tanto per arrivarci?

 

Fidarsi ed affidarsi


Trovare la risposta alla domanda: “Da dove nasce una passione?”
Avevo qualche reminiscenza passata e non mi riferisco ad Heisenberg, che senza escluderlo a priori si rivolgeva ai quanti ed al loro mondo non propriamente come il nostro, ma alla memoria di un quaderno che mio nonno Lino aveva; un libretto di appunti ricordo consunto già allora, dove all’epoca – mio nonno classe 1898 – scriveva i suoi primi studi. Chissà perché poi lo facesse?