#15A l’Ipotesi sui numeri Reali


La cardinalità del continuo R coincide con la cardinalità dell’insieme delle parti dei numeri Naturali N, cioè |R|=|P(N)|

Questo teorema annuncia un importante salto concettuale per la cardinalità generale ma soprattutto sulla numerabilità degli elementi di un insieme in quanto apre le porte all’idea di “diversi infiniti” l’uno dentro l’altro.

N = {0,1,2,3,4,5,6,7 … ∞}
Z = {1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5 … ∞} sembra più grande di N

Q = {1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1 …  ∞}, cioè
1/1 = 1
1/2, 2/1 = 2
1/3, 2/2, 3/1 = 3
ecc.

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La numerabilità dei razionali Q segue un percorso diverso scoperto da Cantor che sta nella tabella soprastante

ma per i numeri Reali?
Ebbene non si possono numerare perché non hanno una corrispondenza con l’insieme N in quanto seguendo molteplici schemi (come nell’esempio di Cantor) ci si è accorti che esiste sempre una numero diverso che non avevamo contato tra un numero l’altro, quindi l’infinito numerabile degli interi è diverso l’infinito non numerabile del continuo. Non solo: esso possiede una cardinalità più grande!
Ipotizziamo di avere due partizioni x∈R1 e y∈R2 (sezione di Dedekind) in cui esiste una relazione d’ordine ≤ (cioè un numero è più grande dell’altro); la loro unione porta ad avere tutto Q ed una funzione iniettiva per lemma di Zorn (scelta) che va da R1 a Q. Con queste premesse possiamo stabilire una relazione d’ordine |R|≤ |P(Q)|

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inoltre P(Q) in quanto numerabile è riconducibile ai numeri naturali N e quindi possiamo anche scrivere P(Q) = P(N) = 2^N (per un insieme di soli 2 elementi)

Se tutto |R| = |N|∪|P(N)| allora |R|≤|P(N)|, iniettiva per scelta di una delle due partizioni come da esempio sottostante

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tramite il teorema di Hartogs si può arrivare alla considerazione più plausibile: |R|=|P(N)|

Separatore-Grigio

Le dimostrazioni dei casi specifici sono lasciate al metodo di induzione per “riempire” il gap tra  |R|≤|P(N)|  e  |R|=|P(N)|

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#14A Teorema di Hartogs


Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

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Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine  e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

#13A Prodotto Cartesiano


Assioma della scelta: Sia I un insieme (di indici), ed X = {Xi,i ∈ I} una famiglia di insiemi (indicizzati da I); indichiamo inoltre con X l’unione di tutti gli Xi. Allora esiste una funzione di scelta, cioè un’applicazione f : I → X tale che f(i)∈Xi  per ogni i∈I.

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Tralasciando che il II è la spiegazione del IV schema, di base una funzione f è una scelta di moltiplicare n elementi o sommare insiemi (la loro cardinalità) rispettando il seguente schema:

f :   I  →  A = AˆI

  • I ={insieme degli indici}

Sia se abbiamo una produttoria ∏ di elementi o di scelta di partizioni che una sommatoria ∑ di partizioni di A ciò che verrà elevato a potenza sarà la cardinalita di I

ps. vedere anche composizione di applicazioni

Bibliografia 
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
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#12A Assioma della Scelta – Axiom of Choice


L’assioma della scelta è un concetto sottile ed a prima vista scontato ma che dà una base solida ad ogni insieme e rapporto tra elementi.

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Ottenuto il concetto andiamo in profondità: ∀F (Famiglia) :∅∉F∃ sempre una funzione di scelta.

ƒ: S –> ∪ {Xi:i∈ I di F}

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S costituisce un’altro insieme cioè ∪(X,x) delle funzioni e di conseguenza degli elementi x∈X delle rispettive famiglie, quindi si ha che S=ƒ(F).
Scegliere tramite una funzione f un elemento appartenente ad una famiglia di insiemi crea visivamente una disgiunzione a due a due tra ad esempio {x}∪Xi con {x}∪Xj non vuoti, condizione esistenziale obbligatoria per far sì che avvenga una scelta.

La parte curiosa è anche dovuta alle applicazioni che ne derivano e che danno il via libera al lemma di Zorn:

f :   X →→ Y     ⇔      g :  X ¡→ Y
Dati 2 insiemi non vuoti ∃f suriettiva se e solo se ∃g iniettiva

Per ogni Catena C ⊂  X se ammette elementi massimali allora esiste almeno un minorante

particolare attenzione si può porre al fatto che la funzione della scelta possa essere anche interpretata come funzione canonica di una classe di equivalenza perché scegliendo  un insieme per il suo elemento instauriamo una relazione tra elementi di un insieme parzialmente ordinato (≤,N) 

In altre parole le frecce disegnate in verde sopra indicano che la g è la scelta tra tanti elementi di un sottoinsieme ed esiste solo se la f(X)=S oppure f(X) del {x} singoletto = y

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
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#11A Ricorsione Forte: Fibonacci e forme Induttive


Principio di Induzione

I Forma

  1. abbiamo P(n) 
  2. P(0) è vera – Peano
  3. P(k) è vera  ⇒ P(k+1) è vera

E qui la ricorsione è data dall’affermazione della proposizione P che se vale per k+1allora vale per n. La stessa la si trova nella seguente analogia

x+0=x,     x+S(y) = S(x+y)

x*0=x,   x*S(y) = x*y + x

x^0=1,    x^n+1 = x^n*x   [oppure]   x^n-1*x = x^n

Fibonacci nel un esempio singolare di induzione in quanto come serie numerica tiene conto di ben 2 numeri precedenti i quali sommati danno il terzo. La curiosità è che tutta la serie dà come immagine una funzione di restrizione dei N naturali formata dai sottoinsiemi in H al variare di i<n

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w = N numeri naturali

II Forma

  1. abbiamo P(n)
  2. P(0) è vera
  3. allora ¥m>0, se A(k) è Vera ¥0≤k<m, ⇒ A(m) è Vera, quindi
  4. A(n) è vera ¥n∈N

Qui la forma si complica ma si completa perché al posto di un indice ne abbiamo 2 cioè k,ν.

Supponiamo di avere m=4, allora la formula scritta in blu dovrebbe valere per qualsiasi 2 ≤ν ≤k ≤m perché giustamente per 0 ed 1 è già verificata come vera.

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come viene suddivisa la sommatoria prendendo come esempio m=4

Detto questo verifichiamo se per la condizione più “stretta” 2 =ν =k =m può valere per tutti gli m+1 oltre il 2.

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prima riga = f(n)= secondo membro. Seconda riga ipotesi di f(n+1) al membro di dx. Terza riga è la tesi dove aggiungo all’f(n) di sx il +1. Quarta riga affermo la tesi tramite calcoli algebrici
  1. alla prima riga riscrivo l’equazione nella forma originaria
  2. ci aggiungo, a destra la sommatoria sostitutiva di m+1 di sx. In rosso la freccia indica la stessa parte. La seconda riga è L’ipotesi induttiva che deve essere verificata, per capirci f(n+1)
  3. Prendo il secondo membro dell’uguaglianza del punto 1 e ci aggiungo il “+1″ che è la sommatoria del f(n+1). La trasformo in modo d’avere le sommatorie identiche (segante in blu)
  4. proprietà distributiva e raccolgo la parte comune del punto 3 e la moltiplico per il “+1” dei 2 indici ottenendo esattamente la formula iniziale ma con k,ν che vanno fino a m+1
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
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#9A principi: Minimo, buon Ordinamento e Gap logico di comprensione insiemistico/algebrica


Riferendoci sempre a Peano ci sono 2 principi che introducono le relazioni tra numeri naturali N di uno stesso insieme e sono:

  • Principio del Minimo 
  • Principio del Buon Ordinamento

Il principio del Minimo dice che se abbiamo una terna di Peano (N,s,e)  – s = successivo e = 0 –  sarà sempre concepito un elemento minimo tale che n≤m per ogni n,m ∈ X

{¥ m∈X ∃ n∈X : n≤m}

la dimostrazione è più discorsiva, infatti supponiamo di avere un insieme non vuoto X di numeri naturali senza un elemento minimo ed un insieme Y con altrettanti numeri naturali strettamente < minori di X. Facendo riferimento alla terna Y deve contenere per forza 0, n ed un suo successore s(n) che, non avendo una situazione tale che n ≤ z ≤ s(n), deve per forza far parte di X in quanto elemento minore dell’insieme X stesso. Questo afferma che Y fa parte di dell’insieme dei numeri N e che X risulta addirittura disgiunto da Y, ipotesi assurda in quanto in Y esiste s(n) cioè il minimo elemento in X. 

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Il Principio del buon Ordinamento gioca anch’esso di logica sostituendosi al Principio di Induzione e viceversa. vediamo come:

Partendo dal PDI alla visione di De Morgan supponiamo A ⊆ N non abbia un elemento minimo e dimostriamo che A=∅.
Supponiamo lo 0 sia in A, ma se è in A allora non è in N\A,
Quindi se è vera per 0 sarà vera anche per n+1? Se in N\A abbiamo numeri naturali che da 0 arrivano ad n ⇒ n+1 si trova in A come elemento minimo. assurdo!
quindi A è per forza vuoto

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Tralasciando la Relazione d’ordine ≤ in N ipotizziamo di avere una n∈N diversa da 0 e 1 ed una funzione S=successivo = x+1 

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va da se per induzione che se sommo a x+1 + n-1 le due funzioni S che dall’insieme X vanno in Y (appartenenti sempre all’insieme dei numeri Naturali N) mi codificano come principio del minimo dell’insieme Y. In “simbologia insiemistica” è spiegato meglio in rosso come l’unione/somma dell’insieme singoletto {x}∪x=S(x)
La foto sottostante sono 3 modi per spiegare lo stesso concetto induttivo

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Tramite questo procedimento si possono dimostrare le proprietà aritmetiche che governano i numeri e che sono:

  • commutativa
  • associativa
  • distributiva della somma rispetto al prodotto
Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
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#10A relazioni: Equivalenza, Preordine ed Ordine


Si chiamano relazioni di Equivalenza quando hanno una funzione binaria ℜ su di un insieme X e soddisfano le 3 seguenti proprietà:

  • riflessiva – aa
  • simmetrica – ab = ba
  • transitiva – ab = bc ⇒ ac

e ad ogni ℜ si associano elementi tra loro che costituiscono una classe di equivalenza :

[a]Þ = { x∈X : xa }

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l’immagine si riferisce alla funzione biunivoca verde che dall’insieme delle classi di equivalenza ζR porta all’insieme Y e definisce l’applicazione obbligatoriamente suriettiva (rossa). X/R o X/∼ è l’insieme quoziente che viene chiamato così perché raduna tutti gli elementi (quanti) che hanno una relazione canonica π tra loro. infatti:

π(a) = [a]ℜ

Separatore-Grigio

Una relazione di preordine si ha tra elementi e risulta totale rispetto agli insiemi in quanto a≤b ≠ b≤a e non altro, mentre A⊂B può essere anche B⊂A a seconda degli elementi al loro interno.

Il preordine è dato agli elementi di un insieme se rispettano le seguenti leggi:

  • a≤a
  • a≤b, b≤c ⇒ a≤c

Se possiedono anche la proprietà simmetrica a≤b = b≤a allora dal preordine passiamo all’ordine (in questo caso di equivalenza)

Spostandoci oltre con la relazione d’ordine  su N, provare che x+1≤y è vera ⇔ esiste una n>0 tale che x+n=y è uguale a scrivere x+1+n-1 =y ovvero 

s(x)*s^n-1 = s^n(x)

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quindi tramite induzione e ipotizzando una n∈N sommata ad x otteniamo una relazione d’ordine. l’esempio soprastante per n=4 fissata figurativamente un’applicazione tra gli insiemi (S= successivo) S^n-1 ed S^0(1)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
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#6A insieme InFinito


Cos’è un insieme infinito?

Cantor e Dedekind hanno visioni analoghe e rispondono chiaramente formalmente alla domanda; ma mettiamo un po’ di chiarezza dove il linguaggio matematico nel spiegare l’ovvietà ci complica un po’ la comprensione.

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Parto da Peano in quanto se mi soddisfa i suoi 5 punti allora esiste qualunque insieme infinito concernente i numeri naturali N. Approfondiamo:

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Non esiste suriettività nella funzione s così come nella f che va da X —> X, quindi prendo una ed una sola x∈X\ f(X) (vedi sopra la x piccola in nero).
Sia F la famiglia di tutte le A⊆X tali che le loro funzioni f(A)⊆A, quindi anche X⊆A (per la regola dell’insieme delle parti) e che C siano invece quegli insiemi facenti parte della famiglia delle intersezioni di A tale che x∈C ed abbia un successore in se stesso s: C —-> C come restrizione di f.

  1. C∈N
  2. x∈N|s(x)∈N
  3. x∉s(C) perché x∉f(X)
  4. s ed f sono iniettive

per descrivere meglio il punto 5 introduco il concetto di ricursione con un esempio:

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f(n) = s(n) ed è la sommatoria di tutte le n∈N che hanno la ƒ:  N —> X. 

  • la funzione produttoria = Γƒ ⊆ NxX (grafico) corrisponde all’intersezione di tutte le ƒ: N —->X raggruppate in una famiglia F
  • il termine ricorsivo sta nel riferimento a se stessa nella funzione dopo n = s(n), s(n) = ƒ(s(n)) ecc. che nel punto 5 soddisfa il principio d’induzione nella sua prima forma.
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica