Sapete, in linea teorica, quante persone vanno vaccinate?


Ecco qui un calcolo molto approssimativo:

Re = numero di Riproduzione Effettivo
R0 = numero di Riproduzione Netto (il massimo potenziale di diffusione di un patogeno)

Di norma Re <= R0 per diverse variabili quali individui resistenti, vaccinati, precauzioni prese nel tempo, immigrazione di soggetti senza anticorpi o con; insomma rimane un equazione soggetta ad oscillazioni nel corso del tempo.
Ora, la fotografia ritrae un Re = 1,75 ed un R0 = 2,5 perciò,
stando alla situazione attuale 
se: 

A) 1 individuo potenzialmente ne infetta 2,5 
B) ed una frazione della popolazione non vaccinata rimarrà suscettibile (1 – V)
quindi abbiamo Re = R0(1-V)

allora:
per evitare un’ondata ulteriore l’Re deve necessariamente essere <1 (un individuo non infetti un’altro individuo), quindi 


da  Re = R0(1-V) passiamo a 1 > R0(1-V)

1 > 2,5 * (1-V)

V > 1-1/2,5 = 0,6 * 100 = 60%
V > 60%

7Mld*60% = 4,2Mld di persone al mondo
60.360.000 * 60% = 36.216.000 persone in Italia

il calcolo è effettuato sul valore di riproduzione netto R0 ma data l’ultima notizia secondo la quale all’Italia saranno destinati circa 27M di vaccini, Re non dovrà superare il seguente valore:

60% : 36,21M = x : 27M
(27M*60%) / 36,21M = 44,74%

V > 1 – 1/x = 0,4474
Re < 1.81

(fonti: mensile Prisma ottobre 2018)

Non avrai altra base all’infuori di “e”


Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En = (1+1/n)^n dia come limite per n→ ∞  di En = e

Unknown-1

In maniera discorsiva, nella dimostrazione devo arrivare a confermare dall’ipotesi vera di En < En+1  la veridicità della tesi En+1/ En >1.
Quindi se so che il 
limite superiore di En = e, per n che tende all’infinito, è un elemento che sta fuori dalla mia serie En, che tende a dx verso L in quanto non maggiorante(che sta fuori) e so che, per un intervallo arbitrario ε>0 che tolgo da L (L- ε) verso sx avrò sempre per ogni n0≤n (o n≤n+1) una serie En < En+1che mi si avvicina sempre più ad L 

allora

Avrò in questo caso!! il rapporto del successivo sul precedente En+1/ En sarà sempre >1 e lo dobbiamo anche grazie a uno dei fratelli Bernoulli ed ad una sua importante disuguaglianza 

P.Assurdo è palese in quanto avrei dovuto negare la tesi En+1/ En >1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 !?! L’ipotesi quindi En < En+1 sarebbe risultata falsa!
Infine condizione necessaria affinché En < En+1 è che En+1/ En >1, mentre invece è sufficiente che En+1/ En >1 per sapere che En < En+1.

Il tempo: direzione e probabilità


La differenza fra passato e futuro esiste solo quando c’è calore. Il fenomeno fondamentale che distingue il futuro dal passato è il fatto che il calore va dalle cose più calde alle cose più fredde.

Carlo Rovelli

Quando ero studente di Chimica mi piacevano le reazioni esoergoniche che liberavano calore più delle endoergoniche, perché c’era la sorpresa di trovare non solo dei prodotti dai reagenti ma anche energia, che immancabilmente dopo un certo Δ di tempo si dissipava nell’aria. Bene, questa “liberazione” segue una curva più o meno gaussiana “a campana” dove una salita esponenziale ed una discesa e–× sorreggono il picco per una lasso di tempo relativamente breve.
La medesima curva usata per calcolare il famoso R0 delle malattie infettive è la stessa che distribuisce gli indici di un polinomio (coefficiente binomiale) secondo la probabilità governata in natura dall’entropia, quella misura di disordine di un qualsiasi sistema fisico conosciuta con la lettera S. 

Ma tornando alla chimica per chi non lo sapesse esiste una costante che mi definisce il numero di particelle presenti in una mole di sostanza chiamato Numero di Avogadro ed è circa 6,022 * 10²³; praticamente è la quantità di atomi/molecole presenti, collegata con il peso atomico di ogni elemento e che funge da fattore di conversione. Per esempio il peso atomico dell’acqua è 18 (0=16, H+H=2) allora 18g di acqua avranno 6,022 * 10²³ molecole al suo interno: un numero abbastanza grande direi!

Quindi, a prescindere dall’energia che ne libera o necessita, una reazione tende da uno stato di ordine ad uno di disordine di tutti gli atomi seguendo una legge probabilistica di distribuzione, conferendone così la direzione temporale in tutti i processi presenti in natura. Come?
Immaginate di averne invece di 6,022 * 10²³ atomi/molecole solo 4 e l’asse del tempo che spazialmente ve li porti da un ambiente perturbato ad uno di equilibrio nella reazione che vorreste ottenere: ad esempio una vasca divisa in due da una barriera di plexiglass, dove da una parte c’è dell’acqua e dall’altra aria. Cosa succederebbe se levaste la barriera? La acqua andrebbe sx a dx e viceversa fino a ristabilire l’equilibrio nei due spazi; ebbene il numero di casistiche in cui potreste trovare disposti questi atomi, ammesso siano solo 4, corrisponderebbero a 4! =4* 3*2*1, mentre in quanti modi potreste combinarli tra loro rispondono invece a 24=16:

  1. s = sinistra e d = destra
  2. ssss, sssd, sdds, sddd, ssds, dsss, ssdd, sdsd, ddds, dsds, ddss, ddsd, dsss, dsdd, dssd, dddd.

perciò 2/16 agli estremi (ssss, dddd), 4/16 più sx che dx (sssd, ssds, dsss, sdss) e 4/16 più dx che sx (sddd, dsdd, ddds, ddsd) ed infine al centro 6/16 (ddss, dsds, dssd, sdds, sdsd, ssdd).

N sono gli atomi/molecole totali ed è esattamente la somma di n + n’ che sono il liquido a sx + il gas a dx prima che la barriera venga tolta. Dal momento che la leviamo andremo ad agire in maniera probabilistica sulle molecole a livello microscopico andando ad equilibrare verso l’entropia lo stato macroscopico del nostro ambiente.
La formula generalizzata delle probabilità con cui n molecole si trovano a dx o sx rispetto alle totali è:

P(N) = n! / N!

Essa tende a 0 per N→ 6,022*1023.

la curva che va a zig zag è l’andamento nelle molecole che da dx a sx si stabilizzeranno nel mezzo dove è più probabile tale configurazione, che corrisponde ad esattamente N/2 nel macroambiente, ed è dettata dalla funzione 1/2N per N che tende a 6,022*1023 .

Lo stesso grafico roteato di 90 gradi. In ascissa abbiamo (t) dove la funzione 1/2^n porta il grafico all’equilibrio di maggiore probabilità

Il recipiente arriva all’equilibrio esattamente quando il grafico è prossimo allo 0 ma questo non garantisce che rimanga nel tempo esattamente a N/2. Inoltre più N è grande e più è improbabile trovare molecole raggruppate a dx o sx in un macroambiente una volta perturbato, questo perché la deviazione standard (scarto quadratico medio) stimata come la media √1/N di tutti gli scostamenti relativi al N assoluto mi indica l’oscillazione della parte centrale del cambiamento di stato dove alcune molecole andranno da dx a sx e viceversa in un lasso di Δt ; infatti se ipotizzassimo 100 molecole divise in 50 a dx e 50 a sx avremmo teoricamente √1/N = √1/100 = 1/10

45 ————– 5+5 ————- 45

Tirando le somme la direzione del tempo percepito sulla Terra scorre in una sola direzione perché nell’opposta diventerebbe trascurabile ed improbabile per l’esigua distribuzione delle molecole in un macroambiente, conclusione accettabile se si guarda solamente l’aspetto chimico/fisico: se scorresse al contrario?
Teoricamente soluzione comunque possibile.

S.

Come siete Serie


Successioni e Serie sono il modo astratto per spiegare una parte della probabilità degli eventi e della struttura fisica del mondo.
Non mi dilungherò su tale argomento ma vorrei fare delle piccole considerazioni trasversali che occupano questo braccio della matematica.

criterioGli argomenti son molti e tutti di eguale importanza perciò parto dai concetti primari: distinzione tra criterio e condizione.
Un criterio è un giudizio la condizione è un accordo, perciò dal n1 al n5 io stabilisco senza equivoco che “quella cosa” va in una determinata direzione piuttosto che in un’altra mentre l’unica condizione ammessa nella tabella è quella di Cauchy.

Se ben ricordo la struttura di una dimostrazione si avvale sempre di una ipotesi necessaria e di una tesi sufficiente; in pratica è sufficiente avere una tesi per dimostrare una proposizione oppure allo stesso tempo una ipotesi necessaria per formulare una tesi. Morale? “non ti basta un’ipotesi. devi avere una tesi per dimostrare.

Specificato questo, se la mia condizione per ipotesi è quella di Cauchy allora ho il primo passo necessario per dimostrare appunto la convergenza di una serie. Infatti:

  • ∀ε>0       ∃nº    ∀m,n ≥nº    :d(Xn,Xm)<ε
  • d(Xn,Xm) ≤ d(Xn,p) + d(Xm, p) <ε
  • |Ak-Ah| <ε    per pº≤p

dicono la stessa cosa ed hanno come elemento cardine che separa “la distanza” tra la successione/serie dal raggio ε.
In quanto ipotesi è necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza e questo dipende “quanto velocemente” la serie mi tende ad un limite: il controesempio è qui sotto e ritrae il confronto tra due (e qua mi scuso) funzioni che mostrano l’andamento della convergenza ad 1 di 1+1/x² rispetto a 1+1/x per il calcolo del Limite.

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Quindi per le serie convergenti una condizione necessaria ma non sufficiente è quella di Cauchy, infatti spesso viene rinforzata da altri criteri e sono quelli della radice, del rapporto, di condensazione e di Leibniz (pt 1,3,4,5) usati a loro volta per stabilire il carattere della serie al variare del limite  0 <α  ≤1 oppure 1<α ≤+∞.
Il rapporto (pt1) è uno strumento polivalente perché esso mi dà sia informazioni sulle successioni se crescenti o decrescenti (se > o < di 1) ma anche sulla convergenza o divergenza delle serie, nonché sfrutta la decrescenza di valori tramite An+1<An per ipotesi per poi condensare il carattere della mia serie in una formula a partire da una restrizione della stessa. Di base il criterio di condensazione si usa per serie visibilmente convergenti già dall’inizio dove al numeratore abbiamo una costante che cambia di poco rispetto al denominatore, mentre il criterio della radice si avvale spesso del confronto in caso di convergenza perché se il limite della mia serie An²<α  è 0≤α<1 allora a maggior ragione An convergerà.

Il concetto di assoluta convergenza mi dice però che se il modulo delle somme della serie è assolutamente convergente allora la somma dei moduli è convergente. Questa “restrizione” dove prendo solo i valori positivi di una serie, come ad esempio in sin n, risulta indicatrice per tutti i valori della sommatoria, ma attenzione: ciò che è convergente non è detto che lo sia assolutamente, infatti basti pensare ad una serie a segno alterno dettata da per esempio (-1)^n* 1/n, dove 1/n è infinitesima all’aumentare di n ma non convergente in quanto serie armonica oltre che di riferimento.
Leibniz si avvale del rapporto di An/An+1 per dimostrare, come per le successioni, che la serie crescente sia convergente.
Pensare alla convergenza (An/An+1) come un treno in corsa ed alla crescita (1/n) come un passeggero che seppur correndo in direzione opposta, venga comunque converso.

Morale le ipotesi per il criterio di Condensazione e di Leibniz sono le medesime:

  • An > 0    ∀n
  • An ≥ An+1     ∀n

ma rispondono in maniera differente alla stessa domanda sulla natura della serie, con due sole differenza per Leibniz dove n →+∞ di An = 0 e la presenza di (-1)^n: l’elemento “sfarfallante” che obbliga la serie a tendere verso 0 sia da positivi che da negativi, dandomi informazioni sulle sottosuccessioni A2n > A2n+1, le quali rapportate al limite a cui tende il mio oggetto, rendono l’errore trascurabile al termine a2n+1 successivo qualsiasi cifra significativa io prenda in considerazione.

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Last but not least e come da ultimo esempio, ciò che per le successioni si determinano la crescita o decrescita, per le serie son la convergenza o divergenza, ed è la particolare attenzione che va quasi esclusivamente ai punti di accumulazione situati in prossimità di un limite che rendono in maniera capillare e metodico lo studio sulla convergenza stessa.

Successione verso Nepero


Qui sotto sta la dimostrazione di come una una serie come En =(1+1/n)^n sia crescente, decrescente e limitata superiormente per n→ +∞ in

  1. Crescente Dimostrazione diretta: En-1< En   (En/ En-1) >1

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Perché è strettamente crescente? Consiglio, in generale, prima di partire con qualsiasi dimostrazione di sostituite un valore alla variabile n così da vedere la En (chiamiamola scorrettamente ƒ(x)) crescere (o decrescere) a seconda dei casi.

“tutto dipende da come si guardano le cose”

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Se En/ En-1 >1 allora En/En-1 è vera e decresce all’aumentare di n, quindi ad L non lo calcolerò mai se non estendo un raggio ε>0 in modo da avere L-ε ≤ En0 ≤ En < L per ogni no<n. 
In un certo senso mi avvicino al limite tramite il calcolo del rapporto se questo rapporto è superiore ad 1 come da tesi.
Sembra quasi fuorviante fare un ragionamento inverso (Se En/ En-1 >1 allora En/En-1) per poi nei calcoli dimostrarlo direttamente, quindi si potrebbe fare anche direttamente (se En/En-1 alloraEn/ En-1 >1)? No. Verrebbe meno il significato di limite come concetto topologico, perché dovrei ipotizzare En come limite di En-1 vista la disuguaglianza stretta < e prendere comunque un ε>0 che mi parta da En come da L…in pratica è come dire che la serie successiva (che ha un suo andamento preciso) è il limite di quella precedente…non sense!

P.Assurdo invece avrei dovuto negare la tesi in questo modo: En/ En-1 <1. Ciò avrebbe significato dividere una quantità superiore per una inferiore e pretenderne come risultato sempre un qualcosa  <1 con la conseguente ipotesi En-1 < En falsa!
Infine condizione necessaria affinché En+1 < En è che En/ En-1 >1mentre invece è sufficiente che En/ En-1 >1 per sapere che En-1 < En

Ultimo accenno alla disuguaglianza di Jacob Bernoulli (1+ En)^n > 1 + nEn sempre vera.
Essa è un po’ la prova del nove sul fatto che 1 meno qualcosa di piccolo > di 1 meno qualcosa di più grande, quasi quanto arrivare, come in questo caso, allo 0.

Bibliografia:
Analisi Matematica – Paolo Maurizio Soardi

PA non solo Per Assurdo


Chi sa cos’è una PA?
In italiano si dice Analisi Predittiva ed è un processo che richiede lo sviluppo di un modello adatto per quella azienda che ha bisogno di un “aggiustamento” di fatturato, sempre in positivo, e che si avvale di big data (enormi quantità di dati) interpretati dalla figura del data analyst.
Ogni applicazione della PA è definita da due punti:

  1. Che cosa viene previsto: il tipo di comportamento (azione, evento) da prevedere per ciascun individuo
  2. Come viene utilizzato: le decisioni motivate dalle previsioni ovvero l’azione intrapresa dalle aziende in risposta alla previsione.

In pratica l’azienda B decide di alzare il fatturato o di acquisire credibilità sul mercato nel suo settore e per battere la concorrenza investe ingenti somme di denaro per l’acquisto di dati da un’altra azienda A che ne raccoglie enormi quantità proprio del settore in cui l’azienda B abbisogna; presto fatto B paga A ed A sviluppa dei modelli (o standard) differenti che la “ingrossano” a discapito della concorrenza.
Grazie ai dati raccolti negli ultimi 4 anni la “Google Flu Trends” ha sviluppato una PA dove la tendenza delle persone a cercare rimedi per l’influenza sui loro motori di ricerca ne prevede la sua diffusione; in soldoni significa che i nostri “movimenti di ricerca” sono indicatori di malattia. E’ un po’ come dire “la ricerca mi porta alla malattia” e non il contrario.
Per farvi un’idea la Pa di Yahoo! stessa ha scoperto che chi vede un banner di un’azienda ha la probabilità del 61% superiore di altre che il consumatore ci clicchi per cercare informazioni, col conseguente aumento di fatturato del 249%. Immaginate quindi la potenza di tale strumento…?
Ma veniamo alla tanto discussa app Immuni.
Il Financial Times nel 2014 scrisse “quello che manca è la teoria, la capacità di raccogliere e analizzare i dati per rispondere a domande complesse. Il problema dei “big data” non è il big, ma l’idea che la quantità possa eludere il problema dei modelli interpretativi e causali”: focus e target da implementare. Ma a smorzare tali affermazioni ci pensa “La Stampa” che riprendendo un articolo de “il Post”, sempre di quell’anno, asserisce che dal 2008 ad oggi la Google Flu Trends avrebbe comunque sbagliato di molto le previsioni sui trend influenzali: tanta gente che si fida dei medici piuttosto che di una multinazionale o perché chi cerca non ha un medico di base o forse perché l’influenza stessa non è motivo di ricerca assidua quanto un’altra cura per un’altra malattia? Non lo sappiamo, se non che da un po’ di anni a questa parte gli analisti stanno affinando le tecniche per abbassare il più possibile il margine di errore.
Abbiamo avuto l’esperienza di questo virus che ha messo in ginocchio il sistema sanitario territoriale nazionale; infatti lo (si fa per dire) scoglio per le nazioni come la nostra non è stato solo far fronte ad una crescita esponenziale di casi allestendo delle terapie intensive in ogni struttura nel minor tempo possibile, ma soprattutto di agire in maniera preventiva evitando che il paziente ci arrivasse in fase avanzata di malattia.

Presa visione della falla ed indipendentemente dalle ragioni di base che l’hanno scaturita, l’applicazione Immuni risulta un assist per le multinazionali, non solo a cedere i nostri dati, ma a calcolarne in maniera affidabile delle PA pagate a peso d’oro grazie ai dati ricavati dall’app.
Dove sta il cambio? Probabilmente nel progressivo innalzamento di credibilità ed affidabilità di Google nel prevedere dove, come l’influenza si sviluppa nel mondo e come porvi iniziale rimedio senza scomodare il medico di base con la proporzionale decrescita di professionisti del settore sanitario territoriale?

Potrebbe essere un’ipotesi.

Bibliografia e riferimenti:
Eric Siegel – Analisi Predittiva
https://cristinacenci.nova100.ilsole24ore.com/2014/04/06/google-flu-trends-big-data-senza-big-theory/?refresh_ce=1
https://www.lastampa.it/opinioni/editoriali/2014/03/18/news/l-influenza-non-si-cura-con-google-1.35778856

 

 

Covid – 19: modello contagioso


Provo a fare chiarezza più discorsiva con il modello matematico SIR già visto in questi giorni ma non forse ben recepito. Parto dalla fine: cos’è R0? è l’indice di infettività che ha ogni malattia ed è una “stima” composta dal rapporto tra λ e ϒ, due costanti che ci indicano gli infetti sui guariti

R0 = λ / ϒ

Ora si ratta solo di andare a scoprire queste due costanti da cosa sono date e che informazioni ci comunicano.

Immaginatele dei vettori che come dei pullman portano gente da un’area all’altra: abbiamo quindi λ che porta le persone suscettibili (non sane) facendole scendere nell’area infetti I e ϒ che trasporta gli infetti fino alla zona di guarigione R.
Va da sé capire che sono strettamente correlate fra loro perché in un’arco di tempo più o meno lungo, si passerà da 1/100 a 50/50 fino a 100/1 dove tutti saranno contagiati e/o guariti, situazione utopica, per afferrare l’idea che prima o poi il picco si raggiungerà, sia se si prenderanno misure contenitive o no.

Abbiamo quindi, lasciando perdere i deceduti, tre aree: suscettibili (S), Infetti (I) e guariti (R) con i loro pullman che trasportano un numero certo di persone da un’area all’altra. Ultima ma non per importanza abbiamo la variabile (t) tempo.
Calcoliamo λ che porta da S → I. Il Tempo (t) ci dice che (λ) trasporta persone da S a I cambiando il numero degli individui presenti nelle aree; di conseguenza avrò due valori di S in relazione al tempo che mi stabiliscono la prima equazione

S(t + Δt) = S(t) – (nuovi infetti) 

Fosse tutto qui saremmo contenti, ma in parte lo è!
I nuovi infetti “che sto trasportando” sono il frutto della sottrazione tra lo status iniziale S(t) con la probabilità (α) di ogni individuo di contrarre la malattia (infatti, non siamo sicuri al 100% che ogni incontro frutti degli infetti) ed il calcolo combinatorio n(n-1) / 2. Sì perché se il numero di individui n fosse 4 allora avrei esattamente 4(4-1)/2 combinazioni possibili di passaggio singolo della malattia; come? a,b,c e d. a la passa a b, b la passa a c e c la passa a d ed ho fatto la prima combinazione. La seconda potrebbe essere b la passa a c, c la passa a d e d la passa ad a, e così via….quindi, tenendo buone le combinazioni di contagio (δ) ed (α) come coefficiente di probabilità, ottengo il nostro pulmino (λ), ma attenzione: devo tenere conto anche del tempo trascorso (t + Δt)>0 sempre.
Quindi avendo i seguenti dati:

  • [n(n-1)/2] = δ
  • αδ = λ
  • N = S(t) + I(t) + G(t) = popolazione totale

posso calcolare la derivata prima con pochi passaggi

Unknown-1il risultato finale è <0 e dà informazioni sullo sviluppo della malattia destinato a decrescere per la zona S con la conseguente diminuzione dei suscettibili a favore degli infetti.
Passiamo alla zona I, il ghetto degli infetti che da una parte aumenta grazie al pullman λ che gli porta nuovi malati ma dall’altra diminuisce perché il pullman ϒ trasporta alla zona R i nuovi guariti, pertanto ϒ = R/I ed avremo quindi:

I(t+Δt) = I(t) + nuovi infetti – nuovi guariti * Δt

La situazione nell’aera I è più dinamica. Ai nuovi infetti dati dalla derivata bisogna togliere i nuovi guariti e si evince da se che lo sviluppo della malattia si gioca tutto qui (risparmiandovi i calcoli) in questa equazione:

I’(t) = λS(t) I(t)/N – ϒI(t)
I’ = λI S/N – ϒ I

si vedrà, in base all’andamento della curva Gaussiana, come la malattia e la risposta della popolazione incida sulla campana ad un periodo (t).
Va da sé che l’indice dei contagiati λ col tempo arriverà più prossimo allo 0 se adotteremo delle misure restrittive preventive, mentre l’indice dei guariti (quindi infettati) ϒ dipenderà dallo sviluppo di un eventuale vaccino; comunque vada questo rapporto deve approssimarsi al più presto allo 0 o essere inferiore (il più possibile a 1) per lasciarci alle spalle tale situazione.
Infatti per fotografarne al tempo (t) bisognerebbe sapere se il metodo dell’isolamento adottato ha raggiunto, o sta raggiungendo, lo scopo prefissato ponendo per esempio

λI S/N < ϒI

dove il rapporto delle due misure adottate unito al rapporto in corso d’opera tra suscettibili e totali sia maggiore di 0 ma non di 1.

R0 = λ / ϒ * S/N  < 1

Ovviamente col tempo (anni) S/N → 0 diventando ahimè trascurabile e lascerà solo λ / ϒ ai superstiti con le loro decisioni.

Feynman diceva “meglio chiedersi cosa succederebbe se facessi così piuttosto che chiedersi se farlo o no” e probabilmente, guardando i tempi che stringono, ha ragione, perché riducendo ai minimi termini è nell’intenzione sennata dell’agire che giace il seme della scienza.

 

#E4 – An – Funzioni, Successioni con 2 Carabinieri: fuNerali Astratt1


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  1. questa successione ha come numeratore la parte intera [] di logx che è una funzione che associa ad ogni x∈R la sua parte intera minore o uguale in N (es: 2,3=2.  4,8=4. 3=3). 
    Detto questo sostituisco all’intera la lettera q che elevata alla n mi identifica la funzione di entità geometrica.
    Sappiamo inoltre che per sapere se una successione converge dobbiamo mettere il modulo <1 (attenzione il modulo e non la serie stessa perché consideriamo sempre i valori positivi della funzione).
  2. sviluppando questo tipo di ragionamento, mettendo sia il modulo positivo che negativo della serie <1, ottengo che la [funzione] esiste in (-2,2) esclusi perché il 2 al denominatore l’ho portato su sia a dx che a sx
  3. se il log di x(argomento) è in base e ⇒ x è compreso tra e elevato alla -1 e 2 visto che la parte intera -1 (eˆ-1 = 1/e = 1/2,71828 … =0,367879 …) 

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  1. 4) per q≠0 e 1 direi anche posso verificarne la somma. infatti la q la posso scomporre in prodotto di due q sommandone gli esponenti
  2. 5) qˆn lo posso portare fuori dalla sommatoria lasciando sotto qˆm. In realtà questo passaggio di mezzo potrebbe fuorviare l’attenzione, ma basta guardare che il qˆk che moltiplica la sommatoria di un (q)ˆn-k dà esattamente ciò che c’è scritto nel punto 6; è un po’ come fare (2)ˆ2 = (2)ˆ3-1!
  3. 6) quindi prendo in considerazione soltanto le sommatorie che da n=2→∞ e cioè quella che mi definisce il limite della serie.

Esercizi 2 e 3

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  1. ricorda vagamente il limite notevole di e quindi la serie stessa sembra suggerirmi la strada. per prima cosa ribalto 2/n ottenendo il reciproco; poi scompongo n=1*n= n/2*2/n (che fa 1) * n
  2. a questo punto i giochi son fatti perché per ottenere e basta avere sia al denominatore che all’esponente la stessa cifra
  3. infatti eˆ(2/n)*n = eˆ2 😉

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  1. sembra che tutta la successione vada a +∞ ma in questo limite, dove so che n tende a +∞ il termine da studiare è senza dubbio sinπ, che è una funzione che sta tra [-1,1]
  2. capito il contesto in cui agire i famosi 2 carabinieri mi portano il lim della mia funzione sinπ →0 

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  1. A) per k=1 la successione tende a 1 e non a 0 (n/n) quindi non converge
  2. B) per k=3 invece con il criterio dell’assoluta convergenza, che grazie al valore assoluto elimino l’elemento disturbante (-1)ˆn, riesco a determinarne l’assoluta convergenza con il confronto asintotico
  3. C) il caso k=2 è particolare, perché sostituendolo mi risulterebbe un confronto asintotico che mi porta la successione a divergere verso +∞. In questo caso posso chiamare in causa il criterio di Leibniz la cui presente successione ne rispetta i presupposti:
    – An→0, per n→+∞
    – An≥0ora devo solo porre An+1 ≤ An ed i calcoli mi portano ad un risultato definitivamente positivo, cioè oltre al Δ/2 della formula finale dove la successione converge debolmente a +∞. 😉