Come siete Serie

Successioni e Serie sono il modo astratto per spiegare una parte della probabilità degli eventi e della struttura fisica del mondo.
Non mi dilungherò su tale argomento ma vorrei fare delle piccole considerazioni trasversali che occupano questo braccio della matematica.

criterioGli argomenti son molti e tutti di eguale importanza perciò parto dai concetti primari: distinzione tra criterio e condizione.
Un criterio è un giudizio la condizione è un accordo, perciò dal n1 al n5 io stabilisco senza equivoco che “quella cosa” va in una determinata direzione piuttosto che in un’altra mentre l’unica condizione ammessa nella tabella è quella di Cauchy.

Se ben ricordo la struttura di una dimostrazione si avvale sempre di una ipotesi necessaria e di una tesi sufficiente; in pratica è sufficiente avere una tesi per dimostrare una proposizione oppure allo stesso tempo una ipotesi necessaria per formulare una tesi. Morale? “non ti basta un’ipotesi. devi avere una tesi per dimostrare.

Specificato questo, se la mia condizione per ipotesi è quella di Cauchy allora ho il primo passo necessario per dimostrare appunto la convergenza di una serie. Infatti:

  • ∀ε>0       ∃nº    ∀m,n ≥nº    :d(Xn,Xm)<ε
  • d(Xn,Xm) ≤ d(Xn,p) + d(Xm, p) <ε
  • |Ak-Ah| <ε    per pº≤p

dicono la stessa cosa ed hanno come elemento cardine che separa “la distanza” tra la successione/serie dal raggio ε.
In quanto ipotesi è necessaria ma non sufficiente per dimostrare la convergenza e questo dipende “quanto velocemente” la serie mi tende ad un limite: il controesempio è qui sotto e ritrae il confronto tra due (e qua mi scuso) funzioni che mostrano l’andamento della convergenza ad 1 di 1+1/x² rispetto a 1+1/x per il calcolo del Limite.

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Quindi per le serie convergenti una condizione necessaria ma non sufficiente è quella di Cauchy, infatti spesso viene rinforzata da altri criteri e sono quelli della radice, del rapporto, di condensazione e di Leibniz (pt 1,3,4,5) usati a loro volta per stabilire il carattere della serie al variare del limite  0 <α  ≤1 oppure 1<α ≤+∞.
Il rapporto (pt1) è uno strumento polivalente perché esso mi dà sia informazioni sulle successioni se crescenti o decrescenti (se > o < di 1) ma anche sulla convergenza o divergenza delle serie, nonché sfrutta la decrescenza di valori tramite An+1<An per ipotesi per poi condensare il carattere della mia serie in una formula a partire da una restrizione della stessa. Di base il criterio di condensazione si usa per serie visibilmente convergenti già dall’inizio dove al numeratore abbiamo una costante che cambia di poco rispetto al denominatore, mentre il criterio della radice si avvale spesso del confronto in caso di convergenza perché se il limite della mia serie An²<α  è 0≤α<1 allora a maggior ragione An convergerà.

Il concetto di assoluta convergenza mi dice però che se il modulo delle somme della serie è assolutamente convergente allora la somma dei moduli è convergente. Questa “restrizione” dove prendo solo i valori positivi di una serie, come ad esempio in sin n, risulta indicatrice per tutti i valori della sommatoria, ma attenzione: ciò che è convergente non è detto che lo sia assolutamente, infatti basti pensare ad una serie a segno alterno dettata da per esempio (-1)^n* 1/n, dove 1/n è infinitesima all’aumentare di n ma non convergente in quanto serie armonica oltre che di riferimento.
Leibniz si avvale del rapporto di An/An+1 per dimostrare, come per le successioni, che la serie crescente sia convergente.
Pensare alla convergenza (An/An+1) come un treno in corsa ed alla crescita (1/n) come un passeggero che seppur correndo in direzione opposta, venga comunque converso.

Morale le ipotesi per il criterio di Condensazione e di Leibniz sono le medesime:

  • An > 0    ∀n
  • An ≥ An+1     ∀n

ma rispondono in maniera differente alla stessa domanda sulla natura della serie, con due sole differenza per Leibniz dove n →+∞ di An = 0 e la presenza di (-1)^n: l’elemento “sfarfallante” che obbliga la serie a tendere verso 0 sia da positivi che da negativi, dandomi informazioni sulle sottosuccessioni A2n > A2n+1, le quali rapportate al limite a cui tende il mio oggetto, rendono l’errore trascurabile al termine a2n+1 successivo qualsiasi cifra significativa io prenda in considerazione.

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Last but not least e come da ultimo esempio, ciò che per le successioni si determinano la crescita o decrescita, per le serie son la convergenza o divergenza, ed è la particolare attenzione che va quasi esclusivamente ai punti di accumulazione situati in prossimità di un limite che rendono in maniera capillare e metodico lo studio sulla convergenza stessa.

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