#E4 cAmpo ComplessO 1

il
  1. A= {x∈C : Re(z)>0}
  2. B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
  3. C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
  4. D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
  5. E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}

Soluzione

A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y

schermata-2018-10-29-alle-16-45-46.png

B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.

Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1

So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:

schermata-2018-10-29-alle-17-09-26.png

C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.

u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo

x-iy/x²+y² = w

ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:

  • moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
  • porto di là il (D): y>x²+y²
  • porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
  • aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
  • i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1

Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni

schermata-2018-10-29-alle-18-08-21.png

D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.

Risolvo Re z-(1/z)>0:

  • Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
  • da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
  • raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)

dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:

D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

Schermata 2018-10-29 alle 18.30.44
l’enunciato prende solo i punti interni in verde della circonferenza escludendo 1 come raggio e l’asse immaginaria y

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.

Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario

schermata-2018-10-29-alle-18-44-53-e1540835185501.png
Prendere solo i punti che stanno al di sotto della retta passante per l’origine ed iscritti nella circonferenza

 

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