- A= {x∈C : Re(z)>0}
- B= {w∈C : w= -iz+1-i, z∈A}
- C= {u∈C : u=1/w, w∈B}
- D= {z∈C : Re(z-(1/z))>0, Re(z)<0}
- E= {w∈C : w=(1+i√3)z, z∈D}
Soluzione
A) l’insieme delle x appartenenti a C t.c. la parte reale del numero complesso sia >0
per 0 escluso e giustamente tratteggiato sull’asse immaginaria Y
B) L’insieme delle w appartenenti a C t.c. prendendo le z appartenenti ad A siano -iz+1-i.
Possiamo vederla anche così: -iz+1-i>0
Quindi ho 2 soluzioni: la prima -iz e la seconda +1-i che mi dà z=-1
So che moltiplicare per -i la z significa ruotare in senso orario di -π/2 l’insieme A, che +1 porto a dx il grafico e -i traslo sull’asse immaginaria il tutto di -1(il suo coefficiente), il grafico corrispondente sarà il seguente:
C) l’insieme delle u appartenenti a C t.c. le w di B (per capirci quelle del grafico sopra) siano =1/w.
u è un numero complesso quindi trasformabile in u= x+iy.
w è trasformabile in 1/u e quindi 1/x+iy. moltiplico per il coniugato ed ottengo
x-iy/x²+y² = w
ora la parte immaginaria da prendere in considerazione (im(w)) deve essere necessariamente < -1 come da insieme B. Procedimento:
- moltiplico per -1 sia (N) che (D) in modo da ottenere y/x²+y²>1
- porto di là il (D): y>x²+y²
- porto a dx anche la y: 0>y/x²+y²
- aggiungo 1/4 ad entrambe i membri (C è un campo e lo posso fare) per alla fine avere una disequazione di II grado del tipo (1/2)²>x²+(x-1/2)² che corrisponde all’equazione della circonferenza di centro 1/2i e raggio 1/2
- i punti u son tutti i punti interni alla circonferenza <1
Dato che u=1/w questa parte poteva anche essere risolta ponendo u*w=1 e sostituendo u=x+iy e w con l’equazione definita nell’insieme B trovava sia la parte Re che Im di u, che quest’ultima una volta messa a sistema tra loro dava le due soluzioni
D) tutti gli z di C t.c. la parte Reale di (z-(1/z)) sia > di 0 e contemporaneamente la parte Reale di (z) sia <0.
Risolvo Re z-(1/z)>0:
- Re (1/z) = Re z©/|z|² (© = questo simbolo sta per coniugato)
- da qui Re z- (1/z) = Re(z) – Re z©/|z|², cioè Re(z) – 1/|z|² *Re(z©)
- raccolgo Re(z)(1- 1/|z|²)
dal raccoglimento capisco che se Re(z) deve essere >0 per enunciato allora i due fattori della moltiplicazione devono essere per forza entrambi <0. Quindi:
D= {z∈C : Re(z)<0, |z|<1}

E) tutti i punti interni z della circonferenza ruotati di 1+i√3.
Dalle forme trigonometriche dei numeri complessi si ottiene una circonferenza di raggio 2 ed i punti interni z ruotati di π/3, quindi in senso antiorario
