Un campo è una struttura algebrica con una costante e due operazioni: (k,*,+) ∀k∈K
che rispetta le seguenti proprietà: Associativa, Commutativa, Distributiva, Elemento Neutro. Un esempio di campo è l’insieme dei numeri razionali Q.
Ordinato perché possiede una relazione “<” che soddisfa le seguenti proprietà:
Transitiva – se a<b e b<c ⇒ a<c ∀a,b,c ∈ K, ne segue che l’elemento neutro per la moltiplicazione “c>0∈N” non ne cambia la l’ordine
Se a≠b ⇒ a<b ∨ b<a
Completo perché assume il teorema di completezza: se A⊂R (A• assunto come l’insieme dei maggioranti di R) Superiormente Limitato allora A• ha un minimo. Viceversa se (A∝ assunto come l’insieme dei minoranti di R) Inferiormente Limitato allora A∝ ha una massimo.
Dimostrazione:
- Sia A⊂R, A sup lim: A•={x∈R :x≥a, ∀a∈A} ≠ ∅ (definizione dell’insieme dei maggioranti come non vuoto)
- scelgo il minimo dei maggioranti di A• scegliendo la minima cifra tra 0 e 9 delle varie parti di cui è composto il numero: β = c0,c1 c2 c3 c4 c5 … ck-1, ck, xk+1,xk+2 ..
- Prendo un’ipotetico numero σ = c0,c1 c2 c3 c4 c5 …ck……
- confronto β e σ: se σ possiede una cifra a ck-1 = 9 allora per il teorema dei resti avremo un numero 9 periodico che ∉R in quanto ck-1,ck,xk+1,xk+2 ecc saranno 9 anche loro.
- Per assurdo assumo che σ ∉ A• allora esiste un numero ϒ>σ t.c. la k-esima cifra di ϒk>ck, ma allora σ>β!! e non ho scelto il minimo elemento dell’insieme dei maggioranti!
- quindi σ=β oppure le loro k-esime cifre sono ck<bk t.c. σ≤β
- lo stesso procedimento è possibile affrontarlo con l’insieme dei minoranti
esempio
dimostrare che 1 è estremo superiore di A={∀n∈Q : (n-1)/n ≤1} o SupA=1
Sapendo che avere un estremo superiore vuol dire ammettere dei maggioranti; in questo caso da enunciato è esplicito che l’1 è il minimo dei maggioranti, ma per dimostrarlo vado per gradi.
Come prima domanda qual è la tesi dell’enunciato?
- (n-1)/n ≤1 oppure SupA = 1
Se per ogni n appartenente a Q che sostituisco mi dà la disuguaglianza (n-1)/n≤1 allora 1 è il mio estremo superiore. E per dimostrarlo nego la tesi P.A. (per assurdo) dicendo che 1 non è SupA, quindi che Esiste un numero ε>0 che sottratto a 1 mi dà un’estremo superiore magari > (n-1)/n della seguente disuguaglianza:
1-ε <(n-1)/n ≤1
invece dopo opportuni calcoli mi risulta n>1/ε il che è sempre vero sempre perché stiamo all’interno dell’insieme Q dei razionali e conseguentemente
1/ε <n ≤1
1-ε è quell’elemento supposto massimo all’interno dell’insieme A e che sarà sempre minore di (n-1)/n per qualsiasi ε>0 io prenda. in altre parole avrò sempre un elemento massimo tra 1-ε ed 1 cioè (n-1)/n.
è il minore dei maggioranti? Sì perché se porto l’1 dentro all’insieme A: (n-1/n) – 1≤0 ottengo -1/n ≤0 sempre vero. Per quanto mi possa avvicinare ad 1 al massimo raggiungerò (n-1)/n per ogni n∈N.
