#A10-#E Relazioni di Equivalenza

Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:

1. fℜg è di equivalenza?
2. se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
3. trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)

L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)

Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi 

1.  fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:

•  fℜf  :      f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k            ∀k∈Z   

Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z

• fℜg = gℜf :       f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)]   che dà                                  ∀k∈Z
• f(x) – g(x) = g(x) – f(x) 
• – (1*3) = 3*(-1)  che è sempre divisibile per 3

ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.

• fℜg e gℜh ⇒ fℜh :      f(x) – g(x)  e  g(x) – h(x) ⇒  f(x) – h(x) =                        ∀k∈Z
• f(x) – g(x) = 3κ
• g(x) – h(x) = 3q
• f(x) – g(x) + g(x) – h(x) = 3κ + 3q 
• f(x) – h(x) = 3(κ+q)   che è sempre divisibile per 3

in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x)  a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.

Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni

2.   f(x) = x    e    g(x) = x²                          ∀k∈Z

• fℜf :  f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3      ok
• fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
• x – x² = – (x² – x)
• x – x² = 3κ
• x = 1,     1 – 1² = 0
• x = 2,    2 – 2² = 2² – 2 ,       -2 = 2?     che non è divisibile per 3

Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi

3.   abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:

• 1 – g(x) = 3κ
• – g(x) = 3κ – 1
• g(x) = 1 – 3κ 

trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3

• f(x) – g(x) = 3κ
• 1 – 1 – 3κ  = 3κ

– 3κ  ≠  3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂