Si consideri in Ζ^z:{f che va da Z→Z di f funzioni} la relazione fℜg ⇔ ∀x∈Ζ di
f(x) – g(x) tale che siano divisibili per 3. Dire se:
- fℜg è di equivalenza?
- se prendessi f(x)=x e g(x)=x² allora fℜg è sempre di equivalenza?
- trovare la f≠g (in relazione con f(x)=1 ∀x∈Z che deve essere f(x) – g(x) = divisibile per 3)
L’enunciato del problema va tradotto: Z^z è una classe di funzioni, quindi un’intera armata di x che vanno in Y che rispettano questa legge f(x) – g(x) = 3κ (perché se è divisibile per 3 avrò una κostante ∈Z al di là del uguale)
Quindi posso riscrivere la funzione come f(x) – g(x) = 3κ affermandola come Tesi
- fℜg per essere di equivalenza la tesi deve rispettare le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. ∀x∈Z Quindi:
- fℜf : f(x) = f(x) che dà f(x) – f(x) = 0*k ∀k∈Z
Banalmente vera perché risulta 0=0 quindi riflessiva per il dominio 0∈Z
- fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = – [g(x) – f(x)] che dà ∀k∈Z
- f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
- – (1*3) = 3*(-1) che è sempre divisibile per 3
ho eseguito i seguenti passaggi perché se moltiplico *-1 che ∈Z e risolvo algebricamente l’espressione si ribalta.
- fℜg e gℜh ⇒ fℜh : f(x) – g(x) e g(x) – h(x) ⇒ f(x) – h(x) = ∀k∈Z
- f(x) – g(x) = 3κ
- g(x) – h(x) = 3q
- f(x) –
g(x)+g(x)– h(x) = 3κ + 3q - f(x) – h(x) = 3(κ+q) che è sempre divisibile per 3
in conclusione il fatto che esistano delle funzioni con una relazione di equivalenza che portino le x∈Z in Z tramite funzione (x) – funzione (x) a qualcosa (κ) che moltiplichi per 3 è scontato che se il risultato è divisibile per 3 allora la tesi è soddisfatta.
Cosa non sodisfatta per la seguenti funzioni
2. f(x) = x e g(x) = x² ∀k∈Z
- fℜf : f(x) = f(x) , f(x) – f(x) = 0 *3 ok
- fℜg = gℜf : f(x) – g(x) = g(x) – f(x)
- x – x² = – (x² – x)
- x – x² = 3κ
- x = 1, 1 – 1² = 0
- x = 2, 2 – 2² = 2² – 2 , -2 = 2? che non è divisibile per 3
Quindi con l’ipotesi simmetrica fℜg ≠ gℜf decade sia l’equivalenza che la tesi
3. abbiamo la f(x) = 1, quindi la sostituisco subito all’interno dell’equazione:
- 1 – g(x) = 3κ
- – g(x) = 3κ – 1
- g(x) = 1 – 3κ
trovata la g(x) che è diversa dalla f(x) come richiede l’enunciato, ora devo solo sostituirla e vedere se la tesi, il risultato, è vera cioè divisibile per 3
- f(x) – g(x) = 3κ
1 –1– 3κ = 3κ
– 3κ ≠ 3κ ma la tesi è comunque dimostrata! 🙂
