#2an Trigonodietro le formule Parametriche

Ridurre di forma ⊆ Semplificare ⊆ Risolvere. 

In generale dietro ogni formula stanno calcoli di ragionamenti più che ragionamenti di calcoli e le formule parametriche per risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche ne sono un semplice esempio

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L’unico requisito fondamentale per iniziare è sapere le formule di duplicazione del seno e coseno.

  • sin2α = 2sinα*cosα
  • cos2α = cos²α – sin²α

Appurato questo sinα corrisponde a sinα = sin[2*α/2]  allora possiamo sostituire sinα e cosα con le suddette formule con la sola differenza che al posto di α c’è α/2.

Procedendo il prossimo step richiama una legge fondamentale della trigonometria che deriva direttamente dal teorema di Pitagora: sin²α + cos²α = 1; se sappiamo che il denominatore è appunto 1 allora basta sostituirlo per ottenere l’uguaglianza a fondo pagina.

nb. la quantità α o α/2 o x o 34/23 non ha una reale importanza, è solo una misura all’interno di una formula, di una struttura 

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Questo punto, dopo ben 2 sostituzioni, dobbiamo fare un ragionamento che richiede un po’ di intuizione, ma prima ci serve il terzo requisito da sapere per operare nella terza sostituzione dell’equazione: sinα/cosα = tgα ….

…. Ma prima, alla luce di tale uguaglianza il ragionamento consta in questo: cosa succederebbe se dividessi per cos²α?

“Cosa succederebbe se facessi così?” è, parere del tutto personale, la domanda per antonomasia che muove la curiosità dell’uomo a cercare una soluzione in qualsiasi campo, che può risultare elementare ma non scontata in scienza, la cui forza è promotrice di grandi scoperte anche al limite del casuale. 

Le seguenti sostituzioni sono delle semplificazioni che riducono la formula alla prima formula parametrica del sinα

nb. cos²α/2 deve essere posto ≠ 0 perché un denominatore = 0 classificherebbe la frazione impossibile. Quindi cos²α/2 ≠ π/2 e 3/2π + kπ ricordando la funzione di cosα

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Analogo procedimento lo attuiamo per trovare cosα, quindi per prima cosa divido sia numeratore che denominatore per cos²α/2, semplifico e sapendo che la ctgα = cosα/sinα trova la seconda formula parametrica.

2018-08-30_09-05-46_923.jpg

last but not least se so che senα/cosα = tgα allora posso ricavarmi la formula parametrica anche della tgα 

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Info Simone
matematico, imprenditore, musicista

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