#14a Teorema di Hartogs

Questo teorema ci garantisce che abbiamo |S|≤ |T|  oppure  |T|≤ |S|. Se sono vere entrambe allora |S|=|T| (Teorema di Cantor)

Prendiamo una famiglia F di funzioni che da A vanno a T come nel seguente schema, dove A ⊆ B ⊆ S. Risulta ovvio che la relazione d’ordine jA < JB possano rappresentare funzioni identiche per ogni a ∈ A.

Ora prendiamo in considerazione B come insieme ∪ di tutti i sottoinsiemi Bi ∀i ∈ I, quindi i,k,j,d,r ..etc in modo che questi formino una catena in F. Il discorso è il medesimo come sopra: una relazione d’ordine data dalle funzioni dei rispettivi insiemi verso T; l’unica differenza sta nella Catena stessa che rende Induttivo tutta F in quanto ammette almeno un maggiorante jB > jBi

img_5760.jpg

Allora per Zorn  se si ha un maggiorante si ha anche elementi massimali al suo interno, quindi ipotizziamo per assurdo di avere un massimale x° all’esterno di S trasformando quindi jB = T in B’ = jB ∪ x° = T

Per avere una funzione iniettiva da T → S avremmo bisogno dell’ assioma della scelta che mi sceglie un massimale che per assurdo sarebbe fuori da S dandomi una funzione d’ordine jB < jB° e contraddicendomi la massimalità di jB per l’insieme B 

Tutto è incentrato sulla relazione d’ordine e sulle catene formatesi all’interno di S.
Prendiamo in considerazione i numeri naturali N. L’insieme A={3,4,5,6} e B={2,3,4,5,6,7,8,9}; se formo una catena C={{1},{1,2},{1,2,3},{1,2,3,4} ecc } avrò per Zorn sicuramente un insieme con elementi maggioranti tra loro ed altrettanti massimali come per esempio tra E={1,2,3,} e F={1,2,3,4,5,6} ho come maggiorante M={3,4,5,6} ed il massimale ∈ E={3}.

Tutte queste scelte rispettano intrinsecamente una relazione d’ordine  e nel teorema di Hartogs riferendosi alle cardinalità degli insiemi presi in considerazione.

Bibliografia 
Dikran Dikranjan 
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra 
Barbieri Viale - Che cos'è un numero 
Carl B.Boyer - storia della matematica 
Marco Manetti - Topologia

 

 

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