Si chiamano relazioni di Equivalenza quando hanno una funzione binaria ℜ su di un insieme X e soddisfano le 3 seguenti proprietà:

• riflessiva – aℜa
• simmetrica – aℜb = bℜa
• transitiva – aℜb = bℜc ⇒ aℜc

e ad ogni ℜ si associano elementi tra loro che costituiscono una classe di equivalenza :

[a]Þ = { x∈X : xℜa }

l’immagine si riferisce alla funzione biunivoca verde che dall’insieme delle classi di equivalenza ζR porta all’insieme Y e definisce l’applicazione obbligatoriamente suriettiva (rossa). X/R o X/∼ è l’insieme quoziente che viene chiamato così perché raduna tutti gli elementi (quanti) che hanno una relazione canonica π tra loro. infatti:

π(a) = [a]ℜ

Una relazione di preordine si ha tra elementi e risulta totale rispetto agli insiemi in quanto a≤b ≠ b≤a e non altro, mentre A⊂B può essere anche B⊂A a seconda degli elementi al loro interno.

Il preordine è dato agli elementi di un insieme se rispettano le seguenti leggi:

• a≤a
• a≤b, b≤c ⇒ a≤c

Se possiedono anche la proprietà simmetrica a≤b = b≤a allora dal preordine passiamo all’ordine (in questo caso di equivalenza)

Spostandoci oltre con la relazione d’ordine ≤ su N, provare che x+1≤y è vera ⇔ esiste una n>0 tale che x+n=y è uguale a scrivere x+1+n-1 =y ovvero 

s(x)*s^n-1 = s^n(x)

quindi tramite induzione e ipotizzando una n∈N sommata ad x otteniamo una relazione d’ordine. l’esempio soprastante per n=4 fissata figurativamente un’applicazione tra gli insiemi (S= successivo) S^n-1 ed S^0(1)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica