Riassumendo il concetto una permutazione è un’applicazione iniettiva da un insieme finito X ad un’altro insieme finito Y dove ad uno ad uno che le x∈X vengono applicate alle y quest’ultime  saranno sempre meno da trovare in Y. La formula è la seguente:

n! = n (n-1) (n-2) (n-3) … (n – i +1)

nel quadrato di un binomio come (a+b)² = a²+2ab+b² il 2 è la permutazione di ab dove all’interno di un insieme finito di elementi abbiamo 2 modi di interpretare a*b che sono ab e ba. Nel caso di un binomio di terzo grado come (a+b)³ le rispettive permutazioni di a²b e ab² sono 3 in quanto abbiamo solo 3 opzioni di combinazione fra loro: a²b = (aab + aba + baa) e ab² = (bba + bab + abb).

Quindi di può asserire che le permutazioni formano delle partizioni all’interno di un insieme finito chiamate più comunemente Coefficienti. Nel nostro caso Binomiali.
La formula per stabilire un coefficiente binomiale è ricavata tramite il principio di induzione dell’insieme delle parti dove all’interno di ogni C stanno tutte le possibili permutazioni al variare degli elementi n dell’insieme.

Va da sé che C è una partizione di X = {C i∪j ¥ i,j∈I : X = P(X)}

Questa relazione stretta tra Insieme delle parti, partizione di un insieme e permutazioni portò Isaac Newton a formulare l’equazione dei coefficienti binomiali dove l’intera relazione trova nella sommatoria ∑ ed in condizioni di esistenza 0≤k≤n dei vari coefficienti, una elegante e non scontata coerenza.
In sintesi ragioniamo sugli esponenti che corrispondono al numero di elementi di ogni partizione, sui coefficienti come quantità di “possibili formazioni” in relazione agli elementi stessi e con la sommatoria come segmento da traslare avanti ed indietro nell’espressione, ed avremo unito per induzione ben tre concetti in uno!

seconda riga si sostituisce (a+b)^n con la sommatoria analoga. terza riga si moltiplica la sommatoria per a e b in verde, poi si opera sull’ordine della sommatoria. quarta riga si raccolgono i coefficiente grazie all’uguaglianza di a^n-kb^k e poi si sommano. ultima riga aggiungo i termini estremi a^n e b^n ristabilendo il numero di elementi della sommatoria totale.

esempio:

• (a+b)³ = insieme X
• a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = partizioni di X
• 3 = Coefficiente Binomiale = numero permutazioni possibili
• a²b = elementi del sottoinsieme relazionato al CB (in questo caso 3)

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Barbieri Viale - Che cos'è un numero
Carl B.Boyer - storia della matematica