#7a insieme Finito

Un insieme X è finito se:

  • X = Ø ∨ in X ∃  n ∈ N | n>0  (in X esiste una n appartenente ai numeri Naturali tale che n sia maggiore di 0) ed ha f biettive con l’insieme dei numeri naturali N
  • ha una cardinalità |X|= n = (1,2,3,4 …. n)
  • se esiste invece una biezione f : X ——–> Y ⇒ |X|=|Y| (anche Y ha la stessa cardinalità di X), quindi esiste una funzione che ne stabilisce la cardinalità tra i due insiemi

Per provare che immagini e sottoinsiemi di insiemi finiti sono anch’essi finiti supponiamo che X sia finito con|X|= n, cioè che ho n elementi all’interno dell’insieme X

  1. se Y ⊆ X ⇒ |Y|≤ |X| e sono entrambi finiti
  2. se f : X —–> Z è suriettiva ⇒ Z è insieme finito.

se Y = Ø è finito per definizione, cioè cardinalità |Y|= 0 
Ora supponiamo per ipotesi induttiva che |X| = (n+1) perché per 0 e 1 risulta ovvio che X sia finito, e che Y′≠ Ø, quindi che al suo interno ci sono degli elementi; avremo così 2 tipologie di nuovi sottoinsiemi di dati da:

Y¹ = Y′ ∩ (n)     ∧     Y² = Y′ ∩ (n+1)
Y = Y¹
∪ 

  • Y¹ = Y′ ∩ (n) = Y′ ⊆ (n) che da Y <—–> X dà una biezione per un’ipotesi induttiva visto che la condizione di ⊆  implica appartenenza di un elemento ad entrambe gli insiemi insieme finito
  • se è finito e viene sommato a di cui ne rimane solo come cardinalità (n+1) va da sé che la risultante è Y = insieme finito 

2.   f(x) = Z ed essendo una restrizione di X non può che esserne che in biezione

finito-975x465.png

Analogo esempio che trovo molto esaudiente è la dimostrazione della cardinalità dell’insieme delle parti: |P(S)|= 2ª

ragionando per induzione

  • per a = 0  2^0 = 1 quindi |P(0)|= 1 è vera
  • allora se è vera per 0 lo deve essere anche per a>0 trasformando così 2ª in 2ª¯¹ dove all’interno dell’insieme S c’è un elemento x° 

Arrivati a questo punto l’insieme S si divide in 2:

  1. i sottoinsiemi delle parti in cui non è presente cioè S\x° che quindi hanno |S\x°|= 2ª¯¹ 
  2. quelli in cui è presente cioè H∪x° dove H ⊆ S\x° e che hanno anch’essi |H∪x°|= 2ª¯¹ 

il calcolo è presto fatto 2ª¯¹ + 2ª¯¹ = 2*(2ª¯¹) = 2ª

|S|= a    es.    S = (0,1)
|P(S)|= 2ª  
es.   P(S) = [0, 1, (0-1), (Ø)]

IMG_5630

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Carl B.Boyer - storia della matematica

 

Info Simone
matematico, imprenditore, musicista

2 Responses to #7a insieme Finito

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