Estensionalità
Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi

Astrazione
Data una proprietà definita P esiste una classe in cui gli elementi sono oggetti x che verificano P

Tale classe è unica e si scrive {x : P(x)}, quindi a ∈ {x : P(x)} ⇔ P(x) vale.
Bertrand Russell ha dato una definizione di classe per la quale non sarebbe contemporaneamente un’insieme. Per definizione la cosiddetta “classe di Russell” viene definita così: {x : x ∉ x}. Per evitare fraintendimenti dobbiamo prima definire la differenza che intercorre tra classe ed insieme.

Gli assiomi fin qui predispongono per astrazione un insieme universo V dove son presenti tutte le diciture finora prese in considerazione quali “elementi”, “insiemi”, classi” ecc. Partendo dal presupposto che sono i predicati P ad ordinare il linguaggio in base alla funzione, un insieme è una classe che appartiene ad almeno un’altra classe, la quale se non appartenesse ad un’insieme verrebbe chiamata classe propria.

Comprensione
Dato un insieme A ed una proprietà P definiamo  {x ∈ A : P(x)} la classe, ovvero quegli elementi x di A che soddisfano il predicato

Una sottoclasse di un insieme è un’insieme, per esempio prendiamo l’insieme B ed una proprietà P; la sua classe è definita così  {x ∈ B : P(x)} e la sua sottoclasse come
{x: x ∈ A ∧ P(x)}. Data l’inclusione della sottoclasse la dicitura {x ∈ B : P(x)} viene comunemente chiamata insieme.

1. 0 ∈ N
2. n ∈ N | s(n) ∈ N           ∀ n ∈ N
3. s(n) ≠ 0                           ∀ n ∈ N
4. s(n) ≠ s(m) ⇒ n ≠ m   ∀ n ∈ N
5. E ⊆ N | 0 ∈ N        ∧      ∀ n ∈ E ∃ n ∈ N | E=N
   

Partendo dal principio asseriamo che Peano con i seguenti assiomi indimostrabili categorizza e classifica i numeri naturali ≥ 0 (N+) detti anche interi non negativi.

1. Per (a) come elemento di un sottoinsieme E ⊆ N attribuiamo il valore a = 0 
2. per ogni numero che appartiene ai numeri naturali esiste un suo successivo codificato come s(n)
3. a non e successivo di nessun numero naturale
4. diversi i successivi, diversi i numeri da cui provengono
5. se una funzione f è attuabile ad a = 0 così come al successore (es 1) allora è attuabile a qualsiasi numero naturale

il punto n5 è formalmente il principio di induzione.
Tale principio ha dimostrato coerentemente proprietà molto importanti dell’aritmetica per la somma (+) ed il prodotto (*) quali

• commutativa  (a+0=0+a, a*1=1*a)
• associativa [a+(b+c)] = [(a+b)+c], a*(b*c)=(a*b)*c
• distributiva (del prodotto rispetto la somma, a*(b+c) = (a+b)*(a+c)

Dati gli insiemi X, Y, Z stabiliamo le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due o tre insiemi contemporaneamente, quindi affermiamo V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è.
Congiuntamente prendiamo dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o) che rispecchiano, anche morfologicamente, i segni di intersezione (∩) ed unione (∪) che si usano normalmente nei casi in cui bisogna dimostrare se un elemento è presente o meno in un gruppo di insiemi. Esempio:

(A∩B)∪C = (A∪C) ∩ (B∪C) è un’uguaglianza vera?

caso particolare: abbiamo una tautologia quando accade un’ipotesi premessa che fa avverare la tesi, quindi risulta sempre vera, per esempio:

se mangio allora ingrasso

P = mangio
I = ingrasso

mangio allora ingrasso = (P⇒I)

=

[P∧(P⇒I)⇒I] = [mangio e (se mangio allora ingrasso) allora ingrasso]

Bibliografia
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
Carl B.Boyer - storia della matematica