Estensionalità
Due classi sono uguali se hanno gli stessi elementi
Astrazione
Data una proprietà definita P esiste una classe in cui gli elementi sono oggetti x che verificano P
Tale classe è unica e si scrive {x : P(x)}, quindi a ∈ {x : P(x)} ⇔ P(x) vale.
Bertrand Russell ha dato una definizione di classe per la quale non sarebbe contemporaneamente un’insieme. Per definizione la cosiddetta “classe di Russell” viene definita così: {x : x ∉ x}. Per evitare fraintendimenti dobbiamo prima definire la differenza che intercorre tra classe ed insieme.
Gli assiomi fin qui predispongono per astrazione un insieme universo V dove son presenti tutte le diciture finora prese in considerazione quali “elementi”, “insiemi”, classi” ecc. Partendo dal presupposto che sono i predicati P ad ordinare il linguaggio in base alla funzione, un insieme è una classe che appartiene ad almeno un’altra classe, la quale se non appartenesse ad un’insieme verrebbe chiamata classe propria.
Comprensione
Dato un insieme A ed una proprietà P definiamo {x ∈ A : P(x)} la classe, ovvero quegli elementi x di A che soddisfano il predicato
Una sottoclasse di un insieme è un’insieme, per esempio prendiamo l’insieme B ed una proprietà P; la sua classe è definita così {x ∈ B : P(x)} e la sua sottoclasse come
{x: x ∈ A ∧ P(x)}. Data l’inclusione della sottoclasse la dicitura {x ∈ B : P(x)} viene comunemente chiamata insieme.
- 0 ∈ N
- n ∈ N | s(n) ∈ N ∀ n ∈ N
- s(n) ≠ 0 ∀ n ∈ N
- s(n) ≠ s(m) ⇒ n ≠ m ∀ n ∈ N
- E ⊆ N | 0 ∈ N ∧ ∀ n ∈ E ∃ n ∈ N | E=N
Partendo dal principio asseriamo che Peano con i seguenti assiomi indimostrabili categorizza e classifica i numeri naturali ≥ 0 (N+) detti anche interi non negativi.
- Per (a) come elemento di un sottoinsieme E ⊆ N attribuiamo il valore a = 0
- per ogni numero che appartiene ai numeri naturali esiste un suo successivo codificato come s(n)
- a non e successivo di nessun numero naturale
- diversi i successivi, diversi i numeri da cui provengono
- se una funzione f è attuabile ad a = 0 così come al successore (es 1) allora è attuabile a qualsiasi numero naturale
il punto n5 è formalmente il principio di induzione.
Tale principio ha dimostrato coerentemente proprietà molto importanti dell’aritmetica per la somma (+) ed il prodotto (*) quali
- commutativa (a+0=0+a, a*1=1*a)
- associativa [a+(b+c)] = [(a+b)+c], a*(b*c)=(a*b)*c
- distributiva (del prodotto rispetto la somma, a*(b+c) = (a+b)*(a+c)
Dati gli insiemi X, Y, Z stabiliamo le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due o tre insiemi contemporaneamente, quindi affermiamo V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è.
Congiuntamente prendiamo dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o) che rispecchiano, anche morfologicamente, i segni di intersezione (∩) ed unione (∪) che si usano normalmente nei casi in cui bisogna dimostrare se un elemento è presente o meno in un gruppo di insiemi. Esempio:
(A∩B)∪C = (A∪C) ∩ (B∪C) è un’uguaglianza vera?
caso particolare: abbiamo una tautologia quando accade un’ipotesi premessa che fa avverare la tesi, quindi risulta sempre vera, per esempio:
se mangio allora ingrasso
P = mangio
I = ingrasso
mangio allora ingrasso = (P⇒I)
=
[P∧(P⇒I)⇒I] = [mangio e (se mangio allora ingrasso) allora ingrasso]
Bibliografia Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra Carl B.Boyer - storia della matematica
