Dati gli insiemi A e B possiamo stabilire le tavole della verità a seconda se un elemento appartenente ad uno, due (o più insiemi) contemporaneamente, affermando come V (vera) se c’è o F (falsa) se non c’è e con l’uso dei connettivi logici che valgono per (∧=e), (∨=o),(¬ =non), (⇒ =allora), si completa in maniera esaustiva la comprensione della gran parte dei teoremi.
come?  

Prendiamo la frase: Un triangolo isoscele di due lati uguali ha due angoli uguali

Abbiamo 4 casistiche possibili:

1. DIRETTA – Se il soggetto ha la proprietà I ⇒ ha la proprietà T
2. INVERSA – Se il soggetto ha la proprietà T ⇒ ha la proprietà I
3. DIRETTA CONTRARIA – Se il soggetto ¬ proprietà I ⇒  ¬ ha la proprietà T
4. CONTRONOMINALE – Se il soggetto ¬ ha la proprietà T ⇒  ¬ ha la proprietà I

Prima di parlare di dimostrazioni va fatto un appunto circa la forma in quanto struttura ed il suo significato. Le casistiche sopracitate si riferiscono puramente alla struttura, quindi alle 4 forme possibili che un enunciato venga espresso, non badando al senso della frase (che in questo caso è vero); questo perché se il significato fosse falso come ad esempio “il numero 21 ha 2 divisori ed è primo” allora basterebbe trovarne un controesempio per confutarne la tesi.(es il numero 7)

Detto questo possiamo asserire che se è vera la 1 è vera la 4, ma se sostituissimo delle lettere al soggetto, ipotesi e tesi avremmo ben 3 modi per dimostrare la veridicità di un’affermazione:

1: (I⇒ T)           2: (¬I⇒ ¬T)        3: ¬(I⇒ ¬T)

1. Detta dimostrazione diretta è il metodo più semplice infatti basta assumere l’ipotesi come vera e se è vera la tesi l’enunciato è dimostrato
2. Detta dimostrazione indiretta, cioè assumo per falsa l’ipotesi e se la tesi è falsa allora l’enunciato è vero
3. Detta dimostrazione per assurdo, dove so di un’ipotesi vera, ma assumo la  negazione della tesi per arrivare ad una ipotesi falsa!

Assurdo e Contronominale possono sembrare simili. Partono col confutare la tesi ma l’ipotesi a cui arrivano nell’Assurdo è falsa, mentre nella Contronominale è vera!

se 3 è dispari allora non è divisibile per 2.    3 è divisibile per 2 allora non è dispari (contronominale)

se 3 è dispari allora non è divisibile per 2,    3 è divisibile per 2 allora è dispari è assurda!

Al fine di aver maggiore comprensione nel linguaggio si aggiungono i seguenti termini: sufficiente e necessario.

• condizione necessaria affinché un triangolo isoscele abbia due lati uguali è che abbia due angoli uguali
• condizione sufficiente affinché un triangolo isoscele abbia due angoli uguali è che abbia due lati uguali