#3a composizione di Applicazioni

f: X —>Y e g: Y —>Z sono due applicazioni (o funzioni) dove Y coincide per f e g e la composizione, descritta dal simbolo °, si scrive così:

g ° f : X —> Z     per    (g°f)(x) = g(f(x)) per qualsiasi x in X

viene spesso chiamata applicazione prodotto perché è anche valevole in casi riflessivi sullo stesso insieme per cui f°(f°f) = (f°f)°f assume a tutti gli effetti come f^3 per la ovvia proprietà delle potenze.

Vediamo casi particolari in cui è valevole l’enunciato precedente f: X —>Y e g: Y —>Z:  

•   se g ed f sono suriettive allora anche g°f è suriettiva (a)
•   se g ed f sono iniettive allora anche g°f è iniettiva (b)

• Il primo caso a sinistra abbiamo una funzione f : X —-> Y iniettiva e la sua inversa
  f^-1 = g : Y —-> X suriettiva. ciò è sempre possibile!
• Nel secondo caso abbiamo un’identità dove la f : X —-> Y iniettiva ha una sua inversa g esattamente come lei. Da qui il particolare che se la f è biettiva (cioè sia suriettiva che iniettiva) allora tutta la funzione può essere invertibile.

• Il primo caso se la f : X —-> Y è iniettiva allora anche la g°f è iniettiva; dove per ogni x,y appartenente all’insieme X abbiamo una f(x) = f(y) e di conseguenza una g(f(x)) = g(f(y)) = z
• nel secondo caso se g : Y —-> Z è g(f(x)) ed è suriettiva. Se per ogni z appartenente a Z esiste una x appartenente a X tale che g°f(x)=g(f(x)), allora se f(x) soddisfa tutto l’insieme Y conferma così la suriettività dell’intero circuito perché g°f(x)=g(f(x)).
  Ne è un esempio anche il caso a) sopra illustrato

• prendendo come immagine mentale la foto sopraindicata sappiamo che la f(x)=y e la g(y)=x di conseguenza la g°f=id x e la f°g=id y 
• la g°f = id x da non confondere con la g°f (x) perché altrimenti avremmo 3 insiemi come nei casi precedenti e non 2 

bibliografia
Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra