Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:
f: X ——> Y
è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti
idx : X ——-> X
applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso
- Sia ha Y è una parte non vuota di X
iy : Y ——–> X
immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”
1 bis. sia f : X —————> Z
f↑y : Y ——–> Z
restrizione di f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.
G(f) = f : X ——> Y
grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.
Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.
f (x) = f {[x]}
Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f
f ¯¹(y) = y
contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

f e la sua inversa
figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y
figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X
P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}
L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò
P (∅) = {∅}
Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo
∃a ∈ X |P(a)
traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}
∀a ∈ X |P(a)
traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)
X ∩ ∅ = ∅ X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo
Dikran Dikranjan Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra
4 pensieri riguardo “#1A definizioni Preliminari”