Algebra in arabo significa ‘unione’, ‘connessione’, ma prima di affrontare l’argomento delle funzioni diamo un po’ di definizioni preliminari:

f: X ——> Y

è una relazione binaria da X in Y calcolati, in caso non specificato, come insiemi non vuoti

idx : X ——-> X

applicazione identica che identifica ogni elemento x dell’insieme X con se stesso

1. Sia ha Y è una parte non vuota di X

iy : Y ——–> X

immersione di Y in X quando “per ogni x appartenente a Y Esiste una x appartenente a X”

1 bis.  sia f : X —————> Z

f↑y : Y ——–> Z

restrizione di  f↑y (y) = f(y) per ogni y appartenente a Y.
Questo caso permette di avere un elemento dell’insieme X al di fuori della relazione tra Y e Z altrimenti ci troveremmo davanti al caso in cui Z è sottoinsieme di Y che è sottoinsieme di X.

G(f) = f : X ——> Y

grafico è una funzione stessa identificata anche come sott’insieme del piano cartesiano
X x Y. Da qui la funzione f stessa è un sott’insieme di X x Y.

Di norma X è l’insieme detto dominio dell’applicazione mentre Y il codominio mentre la funzione esiste in quanto collega elementi del dominio ad elementi del codominio.

f (x) = f {[x]}

Si parla di immagine di xl’elementoy appartenente all’insieme Y e collegato da una funzione f. si chiama anche immagine di x secondo f

f ¯¹(y) = y

contro immagine o immagine inversa dove la funzione f ¯¹y ∃ a Y alla x di X della funzione originaria

figura 1
funzione iniettiva – per ogni x,y,z appartenente a X c’è una funzione f tale che f (x) = f (y) = f (z). Non importa se nell’insieme Y ci siano elementi senza funzione, l’importante che la funzione inversa f ¯¹(y) abbia al più un’immagine in Y

figura 2
funzione suriettiva – per ogni y appartenente a Y esiste una x in X tale che f (x) = y. Praticamente solo se f (X) = Y quindi tutte le funzioni siano soddisfatte in Y e che l’elemento y abbia almeno una contro immagine in X

P(A)= {1,2,3,1-2,1-3,2-3, ∅}

L’insieme delle parti di A è la combinazione tra loro degli elementi dell’insieme A=(1,2,3) compreso l’insieme vuoto – def. IV-
Perciò

P (∅) = {∅}

Quantificatori limitati ci danno molte più informazioni di quanto pensiamo

∃a ∈ X |P(a)

traduzione: esiste una a appartenente a X tale che una proposizione di a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ∧ a ∈ P(a) = ∃a | a ∈ {X ∩ P(a)}

∀a ∈ X |P(a)

traduzione: per ogni a appartenente ad X tale che una proposizione a sia vera.
ciò significa che a ∈ X ed X ⊆ {a | P(a)}≠ 0
per ogni a appartenente ad X vale P(a)

X ∩ ∅ = ∅                 X ∪ ∅ = X
|X| = 0 —-> ∅
|X| = 1 —–> elemento singolo

Dikran Dikranjan
Maria Silvia Lucido – Aritmetica e Algebra