Così lontanamente vicina: Principio di Generalizzazione

Bertrand Russell asseriva che la maggior parte degli insiemi non contiene se stesso come elemento: è chiaro che se io sono l’insieme dei numeri interi non posso esserne contemporaneamente un’elemento.
Il paradosso dell’infinito, cioè che un dato insieme possa essere contemporaneamente sia elemento che insieme di elementi, è un punto fermo al di là del quale dovremmo vederne, nello sforzo dei molti matematici citati nel corso della storia, una chiara direzione dell’ambizione umana.
Nel corso del tempo il peso di tale convinzione ha imparato a convivere con l’altro concetto: alla base di ogni ragionamento sta sempre il passaggio ipotetico-deduttivo, l’intuizione, quel sentimento che provoca nel guardarsi dentro e che dentro scaturisce l’entusiasmo di continuare la ricerca su molti fronti, che accomuna argomenti e muove verso la scoperta il nostro bimbo interiore.
Quindi non si tratta solo di infinito e di paradossi, ma anche di sentimenti a volte in contrasto fra loro e che conducono l’uomo ad affrontare la stessa realtà davanti ai suoi occhi.
Ma allora perché una materia che abbraccia molti aspetti a noi familiari è contemporaneamente così ostica nell’apprendimento?

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Abituarsi a ragionare non per immagini ma per strutture è il primo passo verso la generalizzazione: conoscere significa sapere logiche e leggi che governano un procedimento e la matematica, avvalendosi solo della curiosità, adempie sé stessa rendendo l’uomo universalmente libero; basti pensare all’evoluzione del numero. Con l’affermazione “Dio fece i numeri interi, tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kronecker delimitava la libertà di calcolo del tempo e solo più avanti, per consentire maggior autonomia, i numeri razionali sono stati paragonati agli interi stessi. Ma perché?

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Queste sono le proprietà alle quali tutti i numeri dovevano rispondere per coerenza.

Tutto parte dalle regole dei segni ideate dall’uomo per dare una base coerente al sistema e che paradossalmente non accetta dimostrazioni (Eulero) se non in relazione alle proprietà fondamentali dell’aritmetica.

Per esempio (-1) * (-1) = 1 oppure 1/2 + 1/2 = 1 non 2/4

Comunque, all’inizio si usavano solo numeri naturali per contare, poi grazie al concetto di “misura” e di seguito l’introduzione dei razionali, ci siamo scontrati con il limite degli stessi, cercando una coerenza molto ampliata e sofferta nel principio di generalizzazione.
Per capirci: finché si trattava di somme e prodotti di numeri positivi (razionali e interi) non ci sono state grosse difficoltà, ma con l’accettazione dello 0 come numero e la conseguente introduzione delle operazioni inverse (divisione e sottrazione), l’equazione “a – b = x” per “b > a” ha trovato il proprio posto nel rispetto delle proprietà sopra citate; anzi, furono proprio esse a dettare le regole del sistema aritmetico che tiene ancora oggi tutto in piedi!

Come dicevo trovare un risultato x<0 che rispetti proprietà base dell’aritmetica ha semplicemente stravolto i matematici; si è dovuti ammettere che ciò che crea movimento o le meccaniche (le proprietà) dirigono e soppesano gli elementi (i numeri); pian piano si è arrivati alla percezione che più la matematica estendeva i suoi domini e più la formalità prendeva piede nella filosofia della scienza, abbandonando ideologie fisse ed abbracciando l’esigenza di maggiore libertà di calcolo, fino a “geometrizzare” l’aritmetica con Descartes e Fermat, grazie ai quali un numero reale trova nel segmento l’elemento associativo della sua lunghezza (geometria analitica).

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Il luogo dei punti di un piano

Con l’avvento dei numeri irrazionali nel XIX secolo i confini vengono decisamente abbattuti, l’apertura del termine “numero” diventa così vasta che viene perfino accettata l’idea di dimostrazione indiretta pur di darsi delle spiegazioni. I famosi Cantor, Kronecker e Dedekind si son contesi molto a riguardo ed indirettamente, dato che un numero irrazionale è definito tutt’oggi come un simbolo di successione monotona di intervalli razionali. 

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questa equazione ammette soluzioni nel campo dei numeri reali (razionali ed irrazionali)

Immergersi nei numeri complessi, composti da una parte reale “a” ed una immaginaria “b” dove “i^2 = – 1”, ha portato a risultati geometrici (Wessel, Argand e Gauss) e quindi anch’essi visibili ed allargato ulteriormente il dominio oltre i reali, confermando sempre più nell’immaginario umano che il numero sia più un luogo oltre, che connette in solitudine l’invisibile.

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Quest’altra equazione non ammette soluzioni nel campo dei numeri reali

Ad oggi, abbiamo imparato a non dare risposta, a lasciare aperti i quesiti che spingono la teoria dei numeri alla ricerca di certezze ed assimilato il dubbio come strumento di verifica dove fortunatamente molto è ancora da scoprire (congettura matematica di Riemann, numeri fatidici ecc) nella sicurezza di una coerenza metodologica, storica e di pensiero.

Per concludere il modo di pensare è frutto del reale da cui la matematica è nata per esigenza, quasi come un processo artistico che per sua natura ne ha fatto, nel corso dei secoli,  la regina delle materie, percorrendo ed estendendo il dominio dei numeri con l’introduzione di nuovi simboli senza compromettere le regole del passato, sviluppandosi nella moltitudine ed astraendo in ciò che oggi chiamiamo semplicemente Principio di Generalizzazione.

Bibliografia:
  Carl B.Boyer – Storia della matematica
  Richard Courant e Herbert Robbins – Che cos’è la matematica

 

Info Simone
matematico, imprenditore, musicista

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