Metodo induttivo

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Guardando l’enunciato ricordarsi sempre di identificare cosa sto guardando. In questo caso un’uguaglianza tra una progressione numerica (sommatoria) ed una frazione.

Poi verificarne la veridicità tramite sostituzione, tenendo conto delle condizioni di esistenza. (Perché il contesto in cui si opera è la cosa più importante che chiunque, in qualsiasi situazione, prima di prendere una decisione e portarla fondo deve avere ben chiaro) – in questo caso “per ogni intero >=1.

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Ok è vera. Si fa questo passaggio perché altrimenti staremmo dimostrando l’enunciato nel campo dell’assurdo; sarebbe come fare i 100mt sulla terra con le pinne!

Ora, appurata questa uguaglianza come ipotesi vera dico che vale anche per ogni +1 che metto ad n, quindi la mia tesi dovrebbe portarmi ad un risultato del genere

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A questo punto se l’ipotesi l’ho dimostrata ed è vera mi manca solo da dimostrarne la tesi

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queste due operazioni in realtà sono la stessa, cambia solo la parte verde, ma perché per dimostrare che venga lo stesso risultato ho bisogno di scambiare la sommatoria con la frazione

Questo passaggio è spesso delicato ed ho sottolineato i termini UGUALI con lo stesso colore.
Perché dico uguali? Perché in questo caso la sommatoria è la frazione. Basta sostituirla e risolvere per vedere se riesco ad ottenere lo stesso risultato.

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primo passaggio denominatore comune, secondo passaggio raccoglimento parziale 5^n+1, quarto passaggio estraggo 5 da 20n+15 e lo moltiplico per 5^n+1 dandomi 5^n+2.

il risultato ottenuto è lo stesso dell’immagine precedente. Uguaglianza dimostrata.

Ricordate il significato delle parole: In-durre per De-durre, trarre dentro (4^ immagine sostituzione delle parti verdi) per trarre da (5^ immagine la dimostrazione).
Elegante nella forma no?

 

BIBLIOGRAFIA:
CARL B.BOYER – STORIA DELLA MATEMATICA
RICHARD COURANT E HERBERT ROBBINS – CHE COS’È LA MATEMATICA

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